﻿D(^) 

 h~D es 



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quindi (^)n-\ è esterno a tutti i campi fondamentali relativi a punti interni 

 alla regione che ha tali ipersfere come proiezioni sugli spazi subordinati. 

 Questi gruppi contengono i gruppi iperabeliani del Picard ('). 



Ma altri gruppi rientrano in tale classe. Ci limiteremo ad un esempio : 

 sia Y(xx 0 ) = 0 una equazione Hermitiana ( 2 ) nelle variabili x e nelle va- 

 riabili coniugate x 0 , che rappresenti in 2 2n una varietà algebrica a 2n — 1 

 dimensioni che divida il 2 sn in due regioni una finita e l'altra infinita; 

 e sia G un gruppo propriamente discontinuo ( 3 ) di trasformazioni lineari 

 delle variabili che trasformi in sè la Y(x , x 0 ) — 0 : si potrà in tal caso 

 evidentemente applicare o a Gr o al suo sottogruppo di indice 2 che trasforma 

 in sè ciascuna delle due regioni, il teorema precedente e risulterà che per 

 esso esistono funzioni automorfe. 



6. Ci resta a dimostrare che le serie (1) non sono identicamente nulle. 

 Infatti, preso un punto X in cui la serie (1) converga assolutamente, sarà 



D(qxi) 



finito il numero delle operazioni g per cui il Jacobiano è maggiore 



in valore assoluto di quello delle residue operazioni: sia esso k e siano 



D(<7 • x 



Sii Qì ••• 9n le sostituzioni corrispondenti: sia D il valore comune di 



Df OX' 



in X (/ = 1 , 2 , ... k) . Si avrà per g =j= g x ,g, , ... , g k 



sendo h <^ 1. 



Si supponga ora di considerare la serie 



dove U(xì) soddisfaccia alla condizione che il minimo dei valori in X di 



I 2 =t|B(#*0|| 



\j=i—k I 



per tutti i sistemi di segni possibili sia un numero H =j= 0 : e supponiamo 

 che questa serie sia identicamente nulla. Potremo scrivere allora 



j =l -ic L VkZì) J g*gx"9K L "\ x v J 



( J ) Picard, Sur les fonctions hyperabéliennes Journal de Liouville, ser. IV, voi. I, 

 1885, Bhimenthal, Ueber Modulfunctionen von mehreren VeràndeHichen, Mathematische 

 Annalen, voi. 56 e 58 e Fubini, loc. cit. e una Memoria di prossima pubblicazione negli 

 Annali di Matematica. 



( 2 ) Voglio con ciò indicare che, scritta nelle variabili £ ed tj, l'equazione Y($x 0 )~ 0 

 sia a coefficienti reali. Delle equazioni che soddisfacciano alle condizioni del testo esistono 

 evidentemente per es.: (ed %i 0 ) 2 4" O 2 ^ #•<>) (#2 #20) + ^=0) — 1=0. 



( 3 ) Circa la discontinuità propria di questi gruppi vedi Fubini, Sulla teoria dei 

 gruppi discontinui, Annali di Matematica, serie 3 a , voi. 11. 



