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Matematica. — Una proprietà delle forme algebriche prive 

 di punti multipli. Nota di Francesco Severi, presentata dal Socio 

 G. Veronese. 



Sia 



(1) f(x a #1 ... % r ) = 0 



una forma algebrica d' ordine l nelle variabili x 0 ... x r , cioè un polinomio 

 omogeneo di grado L nelle x . Il discriminante della / è il risultante della 

 eliminazione delle x tra le equazioni 



(2) ^ = 0,^ = 0, ...,-^ = 0. 



L'annullarsi del discriminante esprime dunque la condizione necessaria 

 e sufficiente affinchè le equazioni (2) abbiano soluzioni comuni (appartenenti 

 in virtù dell'identità di Eulero anche alla (1)). 



Si supponga che le equazioni 



(3) 



(fi (x 0 X\ ... X r ) = 0 (2 = 1,2, ... , S) , 



ove anche le (p sono forme nelle x, ammettano oc/- 2 soluzioni, riguardan- 

 dosi come coincidenti due soluzioni del tipo (x 0 X\ ... x r ), (qx 0 , QX y , ... , gx r )- 



In generale non è possibile sostituire al sistema di equazioni (3) un 

 sistema equivalente di due sole equazioni, come a priori lo potrebbe far sup- 

 porre il fatto che due è il minimo numero di equazioni aventi in comune 

 co r - 2 soluzioni. Tale impossibilità generica è ben nota. 



In questo lavoro io dimostrerò che quando una {almeno) delle forme 

 f,(fi ha il discriminante non nullo, il sistema (3) è equivalente ad un 

 sistema di 2 sole equazioni. Per la validità del teorema occorre però che 

 le equazioni contengano più di 4 variabili. 



Per evitare di dilungarmi soverchiamente, nell'enunciato che precede 

 ho un po' allargato il significato di equivalenza tra due sistemi di equa- 

 zioni omogenee (ad r -f- 1 variabili) con co r ~ 2 soluzioni. Due sistemi siffatti 

 li ho cioè riguardati come « equivalenti » quando posseggono oo r_2 solu- 

 zioni comuni. Con ciò non si viene ad escludere l'esistenza di oc/- 3 soluzioni 

 (al più) appartenenti ad un sistema e non all'altro. 



L'enunciato però si semplifica e si determina di più col linguaggio geo- 

 metrico. Assumendo x 0 x\ ... x r come coordinate omogenee di un punto in 

 uno spazio S r , la (1) rappresenta un'ipersuperfìcie o forma (quale luogo di 



