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punti). Le equazioni a discriminante non nullo rappresentano forme prive di 

 punti multipli. — Il sistema (2) sia soddisfatto dai punti di una varietà 

 algebrica ad r — 2 dimensioni (appartenente alla forma /=0). 



Allora il teorema eh' io intendo dimostrare si enuncia così : 



Sopra una forma algebrica V, priva di punti multipli, dello spazio 

 S r , ogni varietà algebrica ad r — 2 dimensioni, è la completa intersezione 

 di V con un'altra forma. 



Di questa singolare proprietà delle forme algebriche erano già noti due 

 casi speciali ; e cioè il caso delle quadriche di S r , studiato dal Klein, ed 

 il caso della varietà cubica dello spazio S 4 studiato dal Fano Ma questi 

 casi non lasciavano affatto supporre che si trattasse di una proprietà comune 

 a tutte le forme prive di punti multipli, perchè le conclusioni ad essi rela- 

 tive derivavano da speciali proprietà delle varietà considerate, e d'altra parte 

 un'ovvia osservazione mostrava come il teorema non fosse vero per le super- 

 ficie dello spazio ordinario. 



Però il Noether nella sua Memoria premiata col premio Steiner, aveva 

 dimostrato che « le curve appartenenti ad una superficie generale d'ordine n 

 son tutte intersezioni complete » ; o, più precisamente, che le superficie d'or- 

 dine n sulle quali esistono altre curve, oltre alle intersezioni complete, for- 

 mano nello spazio una varietà meno ampia di quella costituita da tutte le 

 superficie d'ordine n ( 2 ). 



Il teorema contenuto in questa Nota può dunque riguardarsi anche come 

 un'estensione del teorema di Noether; soltanto, per r^>3, il teorema è 

 ancor più espressivo. 



1. Cominciamo dal caso r = 4. Sopra la forma V, d'ordine l, e priva 

 di punti multipli nello spazio S 4 , consideriamo una superficie F , irriduci- 

 bile e priva anch'essa di punti multipli. Diciamo n l'ordine di F, a il 

 rango della sua sezione iperpiana (n. delle tangenti di questa sezione ap- 

 poggiate ad una retta del suo spazio), j il numero dei piani tangenti ad F 

 e passanti per un punto dello S 4 (n. dei pinch-points della proiezione di F 

 sullo S 3 ). 



Essendo la F priva dei punti multipli, e quindi in particolare di punti 

 doppi impropri, tra i caratteri n,a,j avremo la relazione 



(4) n{n-\) = a+j 



(») Klein, Weber einen liniengeometrische Satz (Math. Annalen, t. 22); Fano, Sulle 

 superficie algebriche contenute in una varietà cubica dello spazio a quattro dimensioni 

 (Atti della E. Acc. delle scienze di Torino, t. 39, 1904). 



( a ) Zur Grundlegung dar Theorie der algebraischen Raumkurven (Abhandlungen 

 der Berliner Akad., 1882) §§ 11, 12. 



(, 3 ) Ved. il n. 2 della mia Nota, Intorno ai punti doppi impropri di una superfìcie 

 generale dello spazio a quattro dimensioni, ecc. (Rend. del Circolo Mat. di Palermo, 



