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Ma tra questi caratteri havvi un'altra relazione. Invero, nella mia Me- 

 moria Sulle intersezioni delle varietà (citata a pie' di pagina) ho dimo- 

 strato che una forma dello S 4 , obbligata a passare per una superficie, viene 

 di conseguenza ad avere come punti doppi gli eventuali punti doppi im- 

 propri della superficie, e generalmente altri punti doppi in punti semplici 

 di questa. Ho anche assegnato il numero di questi punti doppi. Nel caso 

 attuale si ottiene appunto la relazione 



(5) nl(l — 2) — ri 2 — al -\- 2 (n -f a = . 0 , 



esprimente che la forma V non ha punti doppi in punti (semplici) di F 

 Eliminando a-\-j tra le (4) (5), si ha 



(6) nl(l — 2) + n? = al . 



Pongasi n = mi — v (m > 1 , 0 < v <CQ . Allora la (6) diviene : 



(7) ml\l — 2) — vl(l — 2) + mH 2 + v 2 — 2mlv = al . 



Poiché la sezione spaziale di F è una curva tracciata sopra una super- 

 ficie d'ordine l priva di punti multipli (la sezione spaziale di V), un bel 

 teorema di Valentiner e Noether ci dice che il genere p di questa curva 

 soddisfa alla disuguaglianza 



p < à (? — 1) (v — 2) + j (mi — 2v) {m + l- 4) ( 2 ). 



Se ne deduce una disuguaglianza cui soddisfa il rango a (= 2n-\-2p — 2) , 

 e questa disuguaglianza, confrontata colla (7), dopo facili riduzioni porge : 



(8) v(l — v){l— 1) < 0. 



Essendo l~*>v , se fosse v > 0 , cioè v _> 1 , oltre ai fattori v , l — v , 

 risulterebbe positivo anche il fattore l — 1 , e quindi la (8) non resterebbe 

 soddisfatta. Conviene pertanto concludere che v = 0 , ossia che n — mi . 



Dalla (6) ricavasi allora 



a = ml(m-\-l — 2), e quindi: (9) p = 7 mi (m -j- l — 4) -}- 1 . 



Nella citata Memoria di Noether si trova dimostrato, come caso parti- 

 colare del teorema sulle curve di massimo genere appartenenti ad una su- 

 perficie di dato ordine, che « una curva d'ordine mi e genere p dato dalla 

 « (9), la quale sia tracciata sopra una superficie d'ordine l, priva di punti 



t. 15, 1901). Ved. pure il n. 3 della mia Memoria, Sulle intersezioni delle varietà al- 

 gebriche, ecc. (Memorie della R. Acc. di Torino, (2), t. 52, 1902), ove trovansi conside- 

 rati i punti multipli impropri di una varietà qualunque. 



(') La (5) deriva dalla formola generale data alla fine del n. 7 della Memoria Sulle 

 intersezioni delle varietà. Ved. anche la fine del n° 21; ove trovasi la formola partico- 

 lare che serve al nostro caso. 



( 2 ) Zur GrundUgung der Th. d. alg. Raumk. 



Rendiconti. 1906, Voi. XV, 2" Sem. 89 



