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« multipli, è intersezione completa di questa superfìcie con un'altra d'or- 

 « dine m ». 



Dunque la sezione iperpiana della nostra superficie F è intersezione 

 completa della sezione iperpiana di V con ima superficie d'ordine m. 



2. Dalla proprietà dimostrata trarremo che F è essa stessa intersezione 

 completa di V con ima forma d'ordine m, mediante considerazioni di geo- 

 metria sopra una superficie e sopra una varietà. 



Si osservi in primo luogo che curve C\ aggiunte alla sezione iper- 

 piana generica C della F, son segnate su F dalle forme d'ordine l-\-m — 4 

 dello S 4 . Invero, sulla C, priva di punti multipli e intersezione completa 

 di due superficie di ordini l , m , la serie canonica completa è segata dalle 

 superficie d'ordine l -f- wi — 4 (Noetlier). Sicché sulla F le forme di ordine 

 l-\-m — 5 dello S 4 segano un sistema lineare di curve canoniche C — C 

 (che a priori non possiamo dir completo). 



Entro alla V dicasi ora |F'| il sistema lineare aggiunto ad |F|, cioè il 

 sistema somma di |F| e del sistema canonico |L] di V, che è ivi segato da 

 tutte le forme d'ordine / — 5 (Noether). S' indichi inoltre con |G| il sistema 

 delle sezioni iperpiane di V, sicché \(l-\-m — 5)G] indicherà il sistema 

 staccato su V dalle forme d'ordine l -\-m — 5 . 



Poiché le superficie F', (/ -\- m — 5) G staccano su F curve (canoniche) 

 equivalenti, saranno pure equivalenti i gruppi segnati da quelle superficie 

 sopra una sezione iperpiana di F, cioè sopra una C. Ora, fissata una ge- 

 nerica superficie Gr — sezione iperpiana di V — l' intersezione C di F e 6, 

 per la conclusione del n. prec, individua su G il sistema lineare completo 

 ivi segato dalle superficie d'ordine m ; dunque le superficie F', (l -\- m — 5) G 

 si trovano nella condizione di staccare gruppi equivalenti sopra una curva 

 irriducibile C di G , variabile in un sistema continuo di grado > 0 . Tanto 

 basta per concludere che le F', (/ -)- m — 5) Gr segnano curve equivalenti 

 sopra G ('), cioè sulla sezione iperpiana generica di V. Ne deriva che 



F' =s (1 + m — 5) G ( 2 ). 



Essendo inoltre 



F' = F + L = F + (l — 5) G , 



verrà : 



F + (/ — 5)G = (^ + to — 5)G, cioè: F = mG . 



In parole: La superficie F appartiene al sistema lineare completo in- 

 dividuato da una superficie wG . E siccome le forme d'ordine m segnano su 



(») Ved. il teor. I della mia Nota, Osservazioni varie di geometria sopra una su- 

 perfide e sopra una varietà (Atti del E. Istituto Veneto, t. 65, 1906). 

 ( 2 ) Ibidem, teor. IV. 



