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V un sistema lineare completo ('), si conclude che F è intersezione completa 

 di V con una forma d'ordine m , c. d. d. 



3. Con ciò il teorema resta stabilito per ogni superficie di V, la quale 

 sia priva di punti multipli. Passeremo ora ad estenderlo a una superfìcie 

 (irriducibile) dotata di singolarità qualunque (necessariamente proprie). 



Supporremo dunque in quel che segue che F designi una superfìcie 

 d'ordine n con singolarità arbitrarie. Dico anzitutto che « le forme d'ordine 

 n passanti per F segnano altrove su V un sistema lineare |<P| privo di punti 

 base ». 



Per brevità designeremo con F x il cono che proietta F da un punto X 

 dello S 4 (anche situato su F). È chiaro allora, in primo luogo, che un punto 

 P, esterno ad F, non può esser base per |<P|, perchè il cono r Q relativo 

 ad un punto Q, esterno a -T P , non passa per P, e quindi esso segna su V 

 una <P non passante per P . 



Sia ora P un punto s-plo di F(s j^. 1). Il cono d'ordine s tangente ad 

 F in P starà tutto nello S 3 , ti, tangente a V in P. Ciò premesso consi- 

 deriamo il cono r Q relativo ad un punto Q esterno a n , ed osserviamo che 

 la retta QP è luogo di punti s-pli per f Q , ma che questo cono non tocca 

 lungo QP lo spazio n. Ne deriva che l'intersezione F -J- «2> di r Q colla V 

 ha in P un punto di molteplicità s e non maggiore, e quindi che <b non 

 passa per P. È dunque vero che |<2>[ non ha punti base nè su F nè fuori 

 di F. 



Da ciò segue: 



a) Che una <P generica è priva di punti multipli. Infatti su V la 

 superfìcie generica d'un sistema lineare non può avere punti multipli fuori 

 dei punti base, e d'altronde |<P| è privo di punti base ( 2 ). 



b) Che una d> generica è irriducibile. Infatti se una <P generica 

 fosse spezzata, le due parti, essendo immerse nello S 4 , avrebbero necessa- 

 riamente dei punti comuni, che riuscirebbero multipli per <P , contrariamente 

 all'affermazione a). 



Ma allora alla superfìcie £> d'ordine n{l — 1) possiamo riferire la con- 

 clusione del n. 2. Dovrà quindi essere n(l — 1) multiplo di l, cioè n = ml, e 



®==m(l — l)G. 



E poiché F -f- <& = mi G , risulta ancora Fsw(}, Donde si trae che 

 F è intersezione completa di V con una forma d'ordine m, sempre per la 

 ragione che le forme di un dato ordine segnano su V un sistema completo. 



// teorema è così dimostrato per r = 4. 



(') Ved. p. e. la mia Nota, Su alcune questioni di postulazione (Kend. del Circolo 

 Mai di Palermo, t. 17, 1903). 



( 2 ) Cfr. il n. 1 della mia Nota, Su alcune proprietà dei moduli di forme algebriche 

 (Atti della E. Acc. di Torino, t. 61, 1905). 



