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valide in un campo S, di contorno a. Circa il campo S faremo alcune re- 

 strizioni. Intanto avvertiamo che il punto x 0 , y 0 , £ 0 è un polo assunto ad 

 arbitrio nel campo S, poi ancora che il punto x , y , z percorre il contorno e, 

 e dista r dal polo. L'integrale in t/c, elemento di a che intornia il punto 

 &,y, s, è esteso a tutto a. La funzione W è una funzione nota, e la fun- 

 zione <p si vuole invece determinare : nella sua determinazione consiste la 

 risoluzione del nostro problema. La lettera k denota una costante positiva, 

 e ciò corrisponde al caso dei corpi magnetici ; per la validità del precedente 

 metodo e di questo, tale ipotesi non sarebbe strettamente necessaria. Le re- 

 strizioni che si fanno circa il campo S non sono molto notevoli, ma sono 

 tuttavia alquanto maggiori di quelle che ammettevamo nel precedente la- 

 voro. Qui ammettiamo che esista un numero R, tale che una sfera di raggio 

 fisso R, disposta in modo da essere tangente al contorno er, in un arbitrario 

 punto, da opportuna banda, contenga sempre nel suo interno tutto il campo S. 

 Tale campo dovrà essere chiuso e convesso: il precedente metodo era, in- 

 vece, valido anche se alcuni pezzi della superficie <r appartenessero a super- 

 ficie rigate, purché la curvatura non fosse mai negativa ('). 



La soluzione y> che noi cerchiamo è regolare in S, e supponiamo che 

 possa determinarsi, più o meno facilmente, un numero <P , tale da non es- 

 sere mai superato dai valori di |<jp| sul contorno a. 



Noi abbiamo veduto, nel precedente lavoro sullo stesso tema, che un 

 procedimento semplicissimo lascia dedurre da (1) e da (2) l'equazione 



d- 



(3) <p(x 0 , , *o) = - w t° / ;+ , / oJ + lip J*fc ; * da - 



Ora noi supponiamo che esista almeno una soluzione comune alle due 

 equazioni (1) e (2), e metteremo sotto forma esplicita (sviluppo in serie con- 

 vergente) una funzione y>, avente la qualità di essere un'arbitraria soluzione 

 della (3). Con ciò verremo ad un determinato sviluppo, e conchiuderemo 

 che è unica la soluzione della (3). Ma tutte le soluzioni comuni alle due 

 equazioni (1) e (2) si trovano certamente fra quelle di un'equazione che ne 

 è conseguenza, dunque rimarrà stabilito'che unica è la soluzione, supposta 

 esistente, delle due equazioni simultanee (1) e (2). Questo era anche il con- 

 cetto che ci guidava nel precedente metodo: qui, per chiarezza, lo abbiamo 

 esposto con queste poche parole. 



Staccandoci ormai dal precedente lavoro, trasformeremo l'equazione (3), 

 e scriveremo, invece della (3), l'equazione 



d- 



(') Restrizioni analoghe a quelle che si fanno nella presente Nota si fanno anche 

 nel mio lavoro SulV integrazione della in un campo chiuso e convesso. Rend. Circ. 

 matem. di Palermo, 1906. 



