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®«f <Stücf ber 2lbfciffenare jiüifc^en ber Dr* 

 binate unb ber Sangente eines fünftes Ijeifjt 

 bte «Subtangente beffelben. (Errichtet man 

 auf ber Sangente im 33erührungSpunfte eine 

 (Senfrechte unb verlängert fte Big jur Slbfcif- 

 fenare, fo Ijei^t baS jiuifc^en ber le^tern unb 

 bem 33erüfjrungSpunfte enthaltene <Stücf ber 

 (Senfred)ten (in ber gtgur mn) bie Normale, 

 aber baS (Stücf ber Slbfctffenare $tmfd)en 9tor* 

 male unb Drbinate (in ber ftigur np) t>et^t 

 bie (Subnormale. 



{Die nüdjtigften frummen Stuten unb §ucjteic^ 

 bie am ^aujigflen oorfommenben fütb bte ber 

 erften klaffe, beren brei ftnb: (Elltpfe, ^typer* 

 bei unb Parabel; man nennt fte aud) Äegel* 

 f Quitte, ioeil fte erhalten loerben, wenn man 

 einen gemeinen jtegel burcf) Ebenen unter »er* 

 fdjiebenet Sttdjtung fchneibet. 3ft bie fdjnet» 

 benbe (Ebene ioeber parallel mit ber $egetare 

 nod) mit ber (Seite beS Tegels, fo btlbet ber 

 Umfang ber <Schnittfläd)e eine (Ellipf e Taf. 38 

 Fig. 55, eine gefchloffene frumme Sinie, loeldje 

 bie (Etgenfchaft ^at, bap in einer ihrer 2tren 

 ^toet fünfte, bte 33rennpunfte, fo liegen, bafj 

 bie (Summen ber 9tbftänbe jebeS fünftes ber 

 (Euroe üon ben SSrennpunften gleich ftnb. Sie 



©fetchtmg ber (Elltpfe ift y 2 = ^ (a 2 — x 2 ), ioo 



a unb b bie ^atbe grofie unb flehte 3lre ftnb. 

 33etm Greife ift a == b, alfo y 2 = a 2 — x 2 

 bie ©leidjung beS ÄreifeS »om ^albmeffer a. 

 Säuft bie fdjnetbenbe (Ebene mit ber 2tre beS 

 Tegels parallel, fo entfielt eine ^typerbel. 

 £>a biefer «Schnitt ftetS bte ©runb fläche beS 

 Regele trifft, ifi bte £pperbel eine offene, un* 

 begrenzte frumme Sinie. 2ludj fte Jjat jioei 

 SSrenupunfte unb bie Slbftäube ber UmfangS* 

 punfte oon btefen geben immer gleite SMffe* 

 renken. Seber ihrer beiben Steile beftefyt aus 

 §inet gleichen Sleften, bte, ftd) ins Xtnenblt^e 

 erftrecfenb, ftd) ftetS jtoei geraben Sinten (ben 

 9tftymptoten) , bie ftd) im SJiittetpunfte ber gro- 

 feit Slre f^netben, nähern, olme ftd) je §u 

 treffen. £)te @leid)ung ber £fyperbel ift y 2 =» 



~ (x 2 — » 2 ). Sie Parabel entfielt, wenn 



bte fdjnetbenbe (Ebene ber «Seite beS Tegels 

 parallel ift; aud) fte ift eine offene frumme 

 Sinte, ( h at aber nur einen S3rennpunft, oon 

 bem jeber i^rer UmfangSpunfte ebenfo ioeit 

 entfernt ift, als »on einer feften geraben Sinie 

 (ber Sirectrtr). Sfyre ©letdjung ift y 2 =px. 



9locf) mögen folgenbe algebratfc^e (Euroen 

 ^ier eriüä£)nt werben: 



4) Parabeln höherer 5Irt ftnb (Surfen, in 

 betten irgenb eine ^otenj ber Drbinate einer 

 aubern $oten§ ber 3lbfciffe proportional ift. 

 «BefonberS merftoürbig ift bie fogenannte 9leiF* 

 f^e Parabel Taf. 4 72 Fig. 424, beren ©lei* 

 djung ift y 3 = ax 2 . (Bit ift biejentge frumme 

 Sinie, auf welcher ein fehlerer beweglicher 

 *ßunft in gleiten 3eiträumen glet(^ tief fällt. 



2) 3)ie (Siffoibe, Fig. 422, eine (Euröe 

 ber feiten (Staffe, aus §\oei unenbltd^en 3toei= 

 gen beftef|enb, bie ftd) in einer (Spi|e a «er» 

 einigen unb ber Sangente bes Äreifes (Slf^mp^ 



tote) ftets nähern, oljne fte ju treffen. 3^ re 

 @letd)ung ift x 3 =(a — x) y 2 . 



3) 2)iedon(hoibe ober«Kufchellinie,Taf.472 

 Fig. 423, eine (Suröe ber britten ©laffe, be* 

 ren ©leiefjung + y 2 =a 2 ift. Sljre 



(Eonftruction ift fe^r einfach ; man ^ e ^ e e ^ ne 9 e= 

 rabe Sinte, ne^me aufter berfelben ben $unft a 

 an, jie^e oon biefem aus eine beliebige ©erabe, 

 toetche bie erfte in q fc^neibet, unb ne^me auf 

 biefer qm = qu == einer gegebenen ober 

 unüeränberlicf)en Sänge, fo ftnb m u. n fünfte 

 ber beiben unenbttchen 3ioeige ber (Soncl)otbe. 



4) S)ie (Sarbioibe, Fig. 425, eine (Suroe ber 

 britten (Haffe. $Jlan befc^retbe einen ÄreiS, jie^e 

 oon einem fünfte b eine (Se^ne bn, üerläu= 

 gere fte nach beiben ©eilen unb mache np === 

 nq = bem JDurchmeffer beS Greifes, fo ftnb 

 P unb q fünfte ber (Sarbioibe. 3h re ©Eichung 

 ijty 4 — (a 2 + 2ax — 2x 2 ) y 2 — 2 ax 3 + x 4 =0. 



5) 2)ie Semni Scale ober (Schleif entinte, 

 Fig. 430, beren ©leichung ijt (x 2 + y 2 ) 2 

 = 2a 2 (x 2 — y 2 ). ( 



6) S)ie Dphiuribe ober (Schlangenfchtoan^ 

 tinie ioirb auf folgenbe 3lrt conftruirt (Fig. 4 34). 

 Wlan conftrutre einen rechten SÖinfel abc mit 

 unöeränberltchen (Schenfeln ab, bc, §ief>e aus 

 c an irgenb einen J $unft d in ber Sinie ab 

 ober il)rer Verlängerung eine gerabe Siniecd, 

 erriete in d auf cd eine «Senfrechte du unb 

 fälle auf biefe aus bem (Enbpunfte beS anbern 

 (SchenfefS eine gtoeite (Senfrechte am, fo ift m 

 ein ^ßunft ber (Euroe. <Seijt man ab = a, 

 bc = b, fo ift bie ©leichung ber Dphiuribe 



x 3 + (y 2 — ay) x— by 2 = 0. 



7) Sie Sf^pt)oibe ober S3echerltnie ent* 

 fleht auf folgenbe 3trt (Fig. 432). 5ßenn man 

 aus irgenb einem fünfte o außerhalb einer 

 unbegrenzten geraben Sinie yy' nad) berfelben 

 eine (^enfrechte ob unb eine beliebige fchiefe 

 Sinie oc jieht, burch c bie Stnie nz fenfredjt 

 gegen oc jietjt unb auf berfelben cm = cm' 

 = bc nimmt, fo ftnb m unb m' fünfte ber 

 (Sfüphoibe. (Se^t man ob = a, fo tfl für o 

 als 3tnfangSpunft ber ^oorbtuaten, ob als 

 3lbfciffen= unb yy' als Drbtnatenare bie @tei= 

 chung ber Sf^phoibe: y 4 — 4a (a — x) y 2 — 

 (a— x) 4 = 0. 



S3eifpiete oon frummen Stnien, beren ©tei* 

 d)ttng ftd) am einfachften burch ^olarcoorbina* 

 ten auSbrücfen lä^t, bieten bie (Spiraltt* 

 nien ober (Schnecfentiuien Taf. 38 Fig. 54 

 bar, toelche unenbltd) oiele Umläufe um einen 

 feften $unft machen, inbem fte entioeber oon 

 bemfelben ausgehen unb ftch nach einem be= 

 ftimmten ©efefee immer mehr oon ihm entfer= 

 nett, ober ftch ^h m immer mehr nähern. 2)te ein= 

 f achfte ifi bie fogenannte 2t r d) i m e b i f d) e (S p i - 

 r ale Taf. 4 72 Fig. 433, welche entfielt, ioenn 

 ftch ein ^unft auf bem £albmeffer eines ^rei= 

 feS betoegt, währenb biefer um ben ruhenbeu 

 9J?tttelpunft herumgeführt ioirb , unb \\xxxx fo, 

 baf bie Slbftänbe beS ftch beioegenben fünftes 

 »om 9)ctttelpunfte immer ben pon bem ^alb* 

 meffer befchriebenen SBinfetn proportional ftnb. 

 — 5lud) auf ber Dberffädje eines ß^linbcvS, 



