mat^maüt 



nige ber ioid)tigftett $tgenfd)aften bei' fpt)äri= 

 fcfjen SDreiecfe eingefdjaltet to erben, obgleid) 

 fte eigentlich) tu bie (Stereometrie gefyiken. 

 3ioei (Seiten eines fpfyärtfd>en £>reiecfs finb 

 Ziifammen größer als bie britte, Taf. 472 

 Ftgr. 8egt man burcr) ben SJcittetpunFt 



ber Äugel o unb bie (Seiten beS fpfjärifdjen 

 £)reiecfs abc bret (Ebenen, fo btlben jbie le|= 

 teru einen förperticfjen SBütfet, beffen brei 

 ebene Söiufel tton ben 3!3ogen ab, ac, bc ge= 

 ineffen werben. ®a nun »on jenen brei Sötn- 

 fein jeber Keiner tft als bie beiben anbern §u= 

 fanrmeu, fo güt 2)affetbe aucr) üon ben brei 

 33ogen ober (Seiten beS fpfjärifdjen £>retecfs. 

 £>ie Summe ber brei äötnfel aob, aoc, bot 

 ift Fleiner als ttter ütedjte, alfo auc^ bie 

 (Summe ber brei Seiten beS fpf)ärifcf)en 2)retecfS 

 f tetner üU bie ganze ^ertpfyerte ober 360°. — 

 @in fpf;ärtfd)eS £>reiecf def f)etßt baS $0 = 

 lar* ober Supptementarbretecf eines 

 anbern abc Fig. 112, ioenn bie (Men beS 

 te^tern bie $ole ber Seiten beS erftern ftnb. 

 3ft def baS spotarbreiecf tton abc, fo ift aucf) 

 umgefetjrt btefeS baS *ßolarbreiecf beS erftern. 

 3ebe Seite beS *|)ofarbretecfS ergänzt einen 

 äßtnfel beS urfprünglicfjen 25reiecfs z u jioet 

 iftedjten (ba^er ber 9iame Supplementarbreiecf); 

 ebenfo umgefefjrt. ©in fplfyärtfcfyeS £>reiecf 

 l)eißt recfytiotnFlig, loenn ioenigftenS ein 2Ötn= 

 Fei beffelben ein rechter ift. 3ft baS Sreiecf 

 abc Fig. 113 bei c redjtnnnFlig unb oertön* 

 gert man bie (Seiten ab unb cb bis d unb e, 

 fobaß ad = ce = 180°, oerbinbet bann d 

 mit e burd) einen 33ogen eines größten Sixti* 

 feS, fo Ijeißt bde baS (Somplementarbreiecf oon 

 abc unb es ergänzt de ben SBtnFel bac, fo= 

 ir>ie bed bie Seite ac ju 90°, 



£>te SinuS 1 ber Seiten eines fpfyärtfdjen 

 SDreiecfS «ermatten ftcf) tote bie «SinuS ber ge= 

 genüberftegenben SBinFel. (Set abc Fig. 114 

 ein fpfydrtfcfjeS kreiert, beffen Äuget ifjren 

 ©cittelpunft in o unb bie (Stnr)ett zum £alb- 

 meffer f)abe. %äUt man aus c auf bie (Sbene 

 aob bie SenFredjte cd, ouS d auf ac, bc bie 

 SenFredjten de, df, unb $iel()t ce, cf, fo ift 

 letct/t zu jetgen, baß bie £>reierfe ceo, cfo 

 recr)hr>tnfltg ftnb unb bafier ce=sin. coa = 



sin. ca, cf=sin. cob : sin, cb ift» S^Ult 



ift aber im £>rekcf cde : cd = ce. sin. c e d 

 = siu. ca . sin. cab, int £)retecF cdf aber cd 



== cf . sin. cfd = sin. cb . sin. cba, iüorauS 

 ftct) ergibt sin. c a : sin. c b : — : sin. cba: sin. cab. 



(Sine ber tmcfyttgften gormein ber ' fpfjaxi* 

 fdjen Trigonometrie ift biejenige, roelcrje ben 

 (SoftnuS eines SöinFelS im S)reiecf burcr) bie 

 bret Seiten beffelben auSbrücft. 3u if;rer 5tB« 

 teitung btent Fig. 115, too abc ein fpf)ärt= 

 fdjeS 2)retecf, o ber 5JitttelpunFt ber Äuget, 

 cd unb ce Tangenten ber (Seiten ca unb cb 

 ftnb, loelcfye bie oertdngerten Äugeljjalbmeffer 

 oa unb ob in d unb e treffen, ßieljt man 

 bann de, fo ift nad) einem Sa£e ber ebenen 

 Xrtgonometrie de 2 = cd 2 4- ce 2 — 2 cd . ce- 

 cos. d c e unb ^ugleicf) = od 2 + öe 2 — 2od. 

 oe . cos. doe. Stun ift aber (ioenn man ben 



Äugelfialbmeffer mit r bejeict)net) cd = 



r . tang. tac; ce = r. lang, bc ; 2ß. dce 20. 



a cb 



c : od 



cos. ac cos. bc ' 



doe = ab. Littels btefer 3Bertf;e läßt ftc£> bie 

 ©tetc^ung herleiten: 



cos. ab — cos. a c . cos. h c 



COS. acb = : : — rr • 



sin. ac.sm. b c 



%iix re^tloinftige fpf) drifte S)ieiecfe laffen 

 ftcr) jtoei einfache Regeln aufftetten, weiche 

 §ur ^erec^nung alfer §dlfe genügen. Schreibt 

 man nämlic^ bie Seiten unb SÖinfel beffelben 

 tu t^rer imrfuctjen 9lufetnanb erfolge neb enetn= 

 anber, läßt babei ben rechten SÖinlel ioeg, feijt 

 an bie Stelle berjenigen Seiten, toeldje ben 

 rechten SBtnfel einfdjliefen, xfyxe Ergänzungen 

 §u 90 ©rab, unb fängt, loenn man mit alten 

 Seiten unb SÖhtfetn fertig tji, loieber öon 

 üorn an, fo ift 1) ber (5oftnuS jebeS <StürfS 

 gtetcr; bem ^robuct aus ben (Sotangenten ber 

 eütfcfylteftenben Stiiefe; 2) ber SoftnuS jebeS 

 Stücfs gleic^ bem ^Srobuct aus ben Sinuffeu 

 ber ^loeitfolgenben SiücFe. S)te ftcl> hieraus 

 ergebenben Sluflöfungen fonnen jioeibeutig fein, 

 loenn ein Stücf burc^ feinen SinuS gegeben 

 ift, loeit je jloei jufammen 4 80 ©rab auS- 

 mac^enbe SSHnfet ober SSogen gleiche SinuS 

 t;aben. 3n ber %$at jeigt Taf. 4 72 Fig. 116, 

 bafi bie beiben £)retecf"e bca unb bca" eine 

 Seite bc unb ben g egenüb erlieg enben 2BinFel 

 gleirf) l;aben, inbem bie Sßtnlfel bac u. ba"c 

 gleich ftnb, iodf;renb alle übrigen Stücfe beS 

 einen Ü)reiecfS bie Supplemente ((Ergänzungen 

 ju 480 ©rab) ber entfpredj enben Stücfe beS 

 anbern ©reiecfS ftnb. 



SÖet ber SXuflöfung fcf>iefioinfttger fpl)änfc^er 

 Dreiecfe fommen zioet gälle üor, in benen bie 

 CRefuTCtate bertrtgonometrifc^en33erecf)nungziDet' 

 beuttg ftnb: 4) ioenn z^et Seiten unb ber ber 

 fleinern öon tljnen gegenüberltegenbe SKinfel 

 gegeben ftnb; 2) ioenn jiüei SSinfef unb bie 

 bem Fletnern üon i^nen gegenüberltegenbe «Seite 

 gegeben ftnb. 2)en le^tern %att erläutert Fig. 117. 

 Stnb im £>reiecf abc gegeben bie SSinfetabc 

 unb acb unb bie bem ftetnevn berfelben ge« 

 genüberltegenbe Seite ac, fo läßt ftd) ein jioet= 

 teS ganz öerfcfjtebeneS S)reiecf acb" conftrut^ 

 ren, ioetd>eS ganz btefefben Stücfe enthält, 

 fobalb man nämltcf» ab /r fo nimmt, baß bie 

 Verlängerung berfelben ad = ab, alfo aud) 



Sötnfel abc = ade = ab" c. 



3n ber Sljironomie ift es nic^t fetten erfo= 

 berltd), bie 2Birfung fenneu zu lernen, luelcfye 

 eine fe^r flehte ^lenberung eines Stücfs ei= 

 neS 2)reiecfs auf ein anbereS Stücf l^erüor- 

 bringt. Dft laffen ftcf) tiefe Söirfuugen buret) 

 geometrifdje 33etracr)tungeu beftimmeu, ®. 

 ioenn bie Slenberung gefugt loirb, loetdje bie 

 Slenberung eines SßtnfelS eines fpt)ärifcr)en 

 2)reiecfS auf bie gegenüberltegenbe Seite Jjer= 

 vorbringt. 3n Fig. 118 oerioanble ftc^ baS 

 ^)reiecf acb burd) eine Fleine Slenberung beS 

 äBtufelS acb in acb"; bie -3lenberung beS 2Ötn= 

 fels c werbe mit 8c, bie ber gegenüberliegen^, 

 ben Seite c' mit Sc' bezeichnet, gällt man nun 



