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tefyunfte in einem auf ben (Ebenen aller Greife 

 fenfrecf)t fteljenben Äugelbitrd)tneffe'r, ber if>re 

 21 re Ijetft; feine (Snbpunfte J)eif?en bie $ole 

 ber Äugelfretfe. £>er Söinfet jioeier größten 

 greife nürb burdj ben 33ogen gemeffen, ben 

 btefelben oon ber *ßeri:pf)erte beSjentgen gröjj* 

 ten ÄreifeS, burdj beffen $ote beibe geijen, 

 ober irgenb eines fetner sßaratlelfretfe ab* 

 fdjneiben, Taf. \ 72 Fig. 103 u. ^0. 3n>ei paral= 

 tele Äreife fdjneiben ein (Stücf ber Äuge! ab, baS 

 ein Äugelabfdjnitt (Ättgelfegment), unb ein 

 (Stücf ber Äugelob er fläclje, baS eine 3one ge= 

 nannt ioirb. 3)er Snfjatt einer Äuget^one toirb 

 gefunben, luenn man ben Umfang eines größten 

 ÄreifeS ber Äuget mit ber £öf)e ber 3one mut* 

 ttplicirt, Fig. 10%. — £)enft man ftd> einen 

 Äeget, eine ^albfug'el unb einen (Sfylinber oon 

 gleicher ©runbffädje unb .£öf)e (ben ^atbmef* 

 fer ber ^atbfuget als §bf)t berfetben ange* 

 nommen), fo oerljatten ftd) biefe brei Äörper 

 tljrem Snljalte nad) nne bie Bahlen \ , 2 unb 

 3, b. t. ber Äeget ift Ijalb fo grofi als bie 

 £atbfugel unb biefe ift jloei ©rittet beS (Bty* 

 ttnberS; ebenfo oerljalten ftdj baljer attcf) ein 

 Äegel,, eine Äuget unb ein (Stylinber, toemt 

 Äegel unb (£i)linber ben £)urd)meffer ber Äu= 

 gel jur £ölje traben, ü)re ©runbfiäd)eit aber 

 einem größten Äreife ber Äuget gteid) ftnb, 

 Fig. 104. 



III. £te Trigonometrie ober &reiecfmet> 

 funft. 



4) 3Me ebene Trigonometrie. 

 2)te ebene Trigonometrie tefyrt, aus brei in 

 3af)ten gegebenen (Stücfen eines 3)reiecfS, loor= 

 unter, um baffetbe oollftänbtg ju beftimmen, 

 ftets eine «Seite fein mujj, bie übrigen ju be= 

 rechnen. S)a jebe gerabtinige gtgur ftdj in 

 £)reiecfe ^erlegen täjjt, fo btent bie Trtgono* 

 metrie audj $ur 35eredjnung atter anbern ge* 

 rablintgen Figuren. 3ln bie ©teile ber SBin* 

 fet werben in ber Trigonometrie gettnffe 3af) s 

 ten gefegt, beren ©röfie oou ber ber SBtnfel 

 abfängt unb bie man trigonometrifdje $unctto= 

 nen nennt. £)ie tüidjtigften barunter ftnb : 

 «SinuS, (SoftnuS, Tangente unb (Sotangente. 

 3ur (Srftärung berfetben gef)t man am beften 

 oon einem recfjttoinfttgen £)reiecfe aus (abc 

 Taf. 172 Fig. 105). £ier fjeift 4) ber Etuotient 

 ber einem fpttjen äÖtnfet, §. S3. abc ober m, ge= 

 genüberttegenben (Seite burdj bie ^fypotenttfe, atfo 



ber (SinuS beS gebauten SÖtnfelS, ünb 



$ugleidj ber (SoftnuS beS anbern fpt^ert 2Ötn= 

 feig bac ober n; 2) ber 0uotient ber einem 

 fpi|en SBtnfet abc gegenüberttegenben Äat^ete 



burct) bie anbere Äatf)ete, atfo bie Tan= 



gente beg gebauten SBinleB abc unb $u= 

 gleich bie (Botangente beS anbern fpi^en 

 ^13infet6 bac. £)emnacfy ift sin. m = cos. n = 



a c b c 



— ; sm. n cos. m = — ; tang. m = cot. 11= 

 ab' u c 7 0 



tang. n = cot. Suloiefern fiel) 



mit ber ©rofiie eines 3ÖinfelS auc^ bie ©ro^e 

 feines ©inuS, (SoftnuS u. f. n>. dnbert, $eigt 

 Taf. \ 72 Fig. 106. fehx ift ab c ein a3iertelfreis, 

 beffen ^atbmeffer = \ gefegt lotrb; bde, 

 bfg ftnb recfjtiütnfttge Ü)retecfe, in ioetd)en 

 alfo bie Äi;potenufe ber (Stnt;ett gleich ift; 



£)emnacf) tft de = sin. dbc, fg fc= sin. fbc, 

 be = cos. dbc, bg = cos. fbc, loorattS ftd) 



fofort ergibt, ba^ ber (StnuS eines (fpt|en) 

 SßinfelS befto größer, ber (SoftnuS aber befto 

 Heiner ift, je größer ber SÖinlet ifi. 



3luS obigen StuSbritcfen ergeben ftdj fofort 

 bie Siegeln für alle bei S3erec§nung ber recf>t= 

 lotnfttgen 2)reieife oorfommenbe gälte. %üx 

 bie fct)teftt>infligen Sreiecfe ftnb fotgenbe $tt>et 

 Sefirfä^e oon größter 2ßic^tigfett: 4) 3loet 

 (Seiten eines SJreicrfö »erhalten ftc^ lote bie 

 @inuS ber i^nen gegenüberliegenben 2ötn= 

 fei, Fig. 107 u. 108. 3n Fig. 107 $ baS 

 2)reie(f abc burc^ eine aus a auf bc ge- 

 fällte ©enfrec^te in gicei rec^ttotuflige ©reieefe 

 abd unb aed get^eitt. 2tuS bem erften ergibt 



ftcb sin. m = aitS bellt lluetten sin.n = — : 

 ' ' ab 0 a c ' 



bierauS folqt sin. m : sin. 11=-^-; — = ac: 

 ; 1 0 ab ac 



ab. 3n Fig. 108, too baS ©reteef abc ftumpf= 

 toinftig ift unb bie aus c gefällte ©entrechte 

 nur bie SSerlängerung oon ab trifft, ifi ebenfo 



cd,.' cd ff . 



sin. o = — unb sin. n = — , alfo sm. 0 : sin. n 

 uc b c ' 



= bc : ac, fobafj obiger <Sa£ aucf) für 

 ftumpftoinfttge 3)retecfe gilt, fobatb man nur 

 ben (StnuS beSjentgen S3infetS, ioelcf>er mit 

 einem ftumpfen ^ufammen jioei Oiecfjte auS^ 

 mac^t, für ben (StnuS beS ftttmpfen 2ötnfets 

 \dhft anfielt. 2) 2)te «Summe jtoeier «Seiten 

 eines 3)retecfS oerplt ftd) jum Unterftt)tebe 

 berfetben (Seiten ioie bie Tangente ber fjalben 

 (Summe ber tfmen gegenüberliegenben Sötnfel 

 jur Tangente beS fjalben Unterfc^iebS berfel- 

 ben SBinfel. 3m ©retetf abc Fig. 109 ift 



atfo ab 4- ac : ab — ac=tang. 7 / 2 (acb -f- 



abc): taug. ] / 2 (acb — abc). 3n ber gigur 

 ift mit ber fteinern ber beiben (Seiten ab unb 



ac, nämltd) ac, ein ^atbfretS befcfjrteben, 

 welcher ab unb beren SSerlängerung in d u. e 

 trifft, hierauf cd, ce unb px teuerer parallel 

 df gebogen. 2)ann ftnb dee unb cdf red)te 

 Sßtnfet unb eS tft bc : bd, b. t. ab + ac : ab 



— ac = ce : df. dlllll tft ce = cd täng. x 

 tUtb df = cd tang. y; ferner x == y 2 cae = 

 y 2 (acb 4- abc) unb y = x — n == 

 y 2 (acb — abc), loorauS ftc^f bie obige $ropor= 

 tion fofort ergibt. 



2) £)te fp^ärtfe^e Trigonometrie. 



£>ie fpf)ärifrf)e Trigonometrie le^rt bie -33e? 

 rec^nung ber fpf) ärtfet) en ©reteefe, b. I). 

 berjentgen ©reteefe, loelc^e auf ber Oberfläche 

 einer Äuget oon 33ogen größter Äreife gebtl= 

 bet toerben. Sittel) in einem folgen 2)reiecfe 

 fommen fe^S (Stücfe oor, fämnttltcf) Sinfet- 

 gröfen, oon betten biet gegeben fein muffen, 

 um barauS bie übrigen $u berechnen. 



3um 53el)uf beS golgeitbett mögen f»ter et= 



