4 



SSttatfjematif* 



Tangenten, bie einanber gleid) ftnb, $. 33. s u= s v, 

 Taf. 172 Ffgr. 72. £er aBtnfel jtoeier in a unb d 

 berüfjrenben Tangenten ift gteid) bem SStnfel m 

 ber nadj a unb d gezogenen £atbmeffer, Figr. 72. 

 *Pertv'fjertennnfef, bie auf bemfetben £Bogen 

 beffelbeu ÄreifeS flehen, finb gletd), Fig. 73; 

 fie iverben burcfj bie Raffte beS 33ogenS, auf 

 iveldjem fte fielen, gemeffen. £)er 2Öinfet, ber 

 eine Tangente im 33erül!>rungSVunfte mit einer 

 (Sef>ne btlbet, itnrb von ber £älfte beS in ber 

 Deffnung beS 2ÖtnfetS liegenben Vogens gemef* 

 fen, Fig. 73. £)er SSinfet jtveter (Seinen, bie 

 ftdj innerhalb beS jtreifeS ober verlängert auf er* 

 ijalb bcffetben fcfjnetben, ir-trb im erjien galle 

 von ber falben (Summe, im legten von bem 

 falben Unterfdjiebe berjentgen ^ibm Sogen 

 gemeffen, ioeldje gtvifcfyen ben (Sdjenfeln beS 

 SBinfetS unb i^ren SSerlängerungen Hegen, 

 Fig. 74. Seber ^erivljertelmnfel im ^albfretfe 

 ift ein rechter Sßinfel, Fig. 77. ©ine auf ei* 

 nem SHtrdjmeffer bis ^ur *periv1jerie errichtete 

 (Senfredjte ift bie mittlere geometrtfdje $ro= 

 vortionale jivifc^en ben beiben Slbfcftnitten beS 

 £)urdjmefferS, Fig. 78, 2)er Ilmfang (ebenfo 

 ber SnJjalt) eines KreifeS ift immer größer als 

 ber Umfang (Snljalt) eines in benfelben, aber 

 Heiner als ber Umfang (Snfjatt) eines um 

 benfelben befd)rtebenen 3[$telecfs, Fig. 83. £)er 

 Kreis ift einem £>retecfe gleich, beffen ©runb* 

 linie bem Umfange unb beffen £j% bem £atb= 

 meffer gletdj ift; ein KretSauSfdjnitt ift gleich 

 einem ©reiecfe, beffen ©runblmie bem 33ogen 

 beffetben unb beffen £öfje feinem «igalbmeffer 

 gleich ift, Fig. 84. 



9luS ben ooranfte^enben <Sa|en folgt bie 

 Sofmtg nadjfteljenber Aufgaben: 4) £)en Sfött* 

 telvunft eines KretfeS §u jtnben', Taf. 8 Fig. 29. 



2) 2)urct) einen gegebenen *ßunft im Kreis* 

 umfange eine Tangente $u jieljen, Fig. 30. 



3) SSon einem außerhalb eines KretfeS gege* 

 benen fünfte a eine Tangente an bcnfdhcn $u 

 gießen, Taf. 172 Fig. 80. 4) (Sin Sretecf ju 

 conftrutren, toetdjeS ^ivei gegebene (Seiten a, b 

 enthält, unb in iveldjem ber einen von iljnen, 

 j. 33. a, ein gegebener Söinfel m gegenüberliegt, 

 Fig 76. 5) 3u jtoei gegebenen Sinien bie mttt* 

 lere geometrifdje ^rovortionallinie ju conflrui* 

 reu, Fig. 78. 6) ©in gegebenes £>mecf, j. 33. 

 abc, Fig. 79, burcfj hinten, bie einer beftimmten 

 (Seite bc parallel iaufm, in eine beftimmte 2ln= 

 jafyt, §. 33. fünf, gleiche Steile ju feilen. 

 7) 3n einen Kreis ein regelmäßiges (SedjSecf 

 $u befcfyreiben, Ftgr. 8-/. 8) 3n einen Kreis 

 ein regelmäßiges günfecf ju befdjreiben, Taf. 8 

 Fig. 26. 



2)em Greife verivanbt ift baS Dval (ober bie 

 (Silinie) , icetcfjeS aus vier Kreisbogen jufam* 

 mengefe^t ivtrb unb auf verfdjtebene 5trten 

 conftruirt werben fann. 3n Fig. 32 ftnb 

 über unb unter ber ©runblmie cd congruente 

 gleidjfcfjenflige 2)reiecfe CDE unb CDF con* 

 jtruirt, hierauf öon c unb D mit beliebiger 

 (Sirf einleite ca=db 33ogen gefc^lageu, toeW^c 

 bie verlängerten gleichen Seiten jener ©reiecfe 

 in G, H, i, K fcfmeibeu, enblic^ von E unb F 

 mit ber (Sirfeltoeite ej = fg bie 33ogen GH 



unb JK. hiermit ftimmt auc^ Taf. 8 Fig. 35 

 überein, wo bie £)reiecfe CDJ unb CDK gleid)* 

 fettig ftnb. 3n Fig. 53 ift bie Sänge ober 

 grofe 2lre AB beS DoatS gegeben, -äftan tt^etle 

 fte in bret gleiche ^^ette, betreibe aus ben 

 SfjeilungSbunften c unb D mit bem £atbmef* 

 fer == % AB Greife, bie ftc^ in E unb F 

 fcf>neiben, jiefjie von bte.fen fünften aus bie 

 £)urct)meffer FG, FH, EJ, EK unb befc^retbe 

 mit ber ßtrf elttmte = % ab aus E unb F 

 bie 33ogen JK, GH. — 3n Fig. 34. ift ab 

 in oier gietcf)e X^etle geseilt, aus ben X^ei* 

 lungSpunften c, D, E ftnb mit bem ^atbmeffer 

 = J / 4 AB bret Greife betrieben, von benen 

 bie äußern ben tnnem in F, G, H, J fc^neiben, 

 burcf) btefe fünfte 2)urc^meifer ber beiben 

 ättßerften Greife gejogen, bie ftdj verlängert in 

 o unb P fdjnetben, entließ aus tiefen $unf* 

 ten %\n SSerbinbung berfelben Greife bie So* 

 gen KL, MN betrieben. 3n Fig. 36 ift ein 

 balbeS Dval von gegebener £änge ab auf fol* 

 genbe SBetfe conftruirt. 33on A unb B ijt auf 

 AB ein beliebiges Stücf ah = bk genom* 

 men unb mit biefer (Strfetöffnung aus A unb H, 

 B unb K 33ogen gefc^lagen, bie ftc^ in J unb L 

 fc^netben; ferner aus tiefen fünften mit ber 

 (Sirfeiöffnung J L 33ogen, bie ftc^ unter ab inD 

 fc^netben; entließ mit berfelben (Sirfeiöffnung 

 aus D ber 33ogen JL, 



n. ©tc ©tereometrie ober M'iip erlebte. 



1) 3)ie Sage ber Stnten unb (Sbenen 

 im Oiaume. 



(Sine ©erabe fte^t auf einer (Sbene fenfrec^t, 

 ivenn fte auf jtoei (unb mithin auf allen) in 

 ber (Sbene liegenben, ftdj burcl>fd)neibenben ®e* 

 raben fenfrec^t ftefjt, Taf. 172 Fig. 86 u.87. 

 3ft bieS ntc^t ber gaff, fo ftnbet man ben 9lei* 

 gungSivinfet jener ©eraben mit ber (Sbene, 

 Fig. 85, ivenn man von einem beliebigen fünfte 

 ber ©eraben auf bie (Sbene eine Senfrecfyte 

 fällt unb bie gußvunfte betber Stuten verbin* 

 bet. 3ft eine ©erabe ab einer @bene ab va* 

 rallel, unb legt man burdj jene jtoei (Sbenen, 

 lüeldjeAB in cd unb ef fc^neiben, fo ftnb btefe 

 Sinten einanber parallel, Fig. 88. ß\vä @be= 

 nen, auf benen btefelbe ©erabe fenfrec^t fte^t, 

 ftnb etnanber Varallet, Fig. 90. Sterben jtoei 

 varallele ©benen von einer brüten burcljfcf)ntt= 

 ten, fo ftnb bie £)urd)fcf)ntttsltnten etnanber 

 Varaffel, Fig. 91. Serben jtoei ©erabe im 

 Otaume von bret varallelen (Sbenen burcfyfdjntt* 

 ten, fo ftnb bie Von ber einen abgefcfynittenen 

 Stücfe benen ber anbern vrovortionirt, Fig. 93. 

 3n>et SÖinfel, Ivette varallele «Sdjenfel ^aben, 

 ftnb einanber gteic^; liegen fte in verfcfytebe* 

 nen (Sbenen, fo ftnb btefe etnanber Varatlel, 

 Fig. 92. (Sbenen fönnen, loie gerabe Sinien, 

 Sieben* unb (Sdjettefnnnfet bilben, loelc^e bann 

 l)tnftc^ttic^ i^rer ©röße biefelben (Stgenfcf)aften, 

 lote bie von jenen gebitbeten, Ijaben, Fig. 89. 

 aSeretnigen jtc^ bret ober mefyre Ebenen in et= 

 nem etnjtgen fünfte, fo entfielt eine (Scfe 

 ober ein förVerlic^er SBinfel, Fig. 94. 



