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Matematica. — Sulla derivazione covariante ad una forma 

 quadratica differenziale. Nota del prof. G. Ricci, presentata dal 

 Socio Dini. 



« Nelle mie ultime ricerche sono stato naturalmente condotto ad asso- 

 ciare alle funzioni di n variabili una forma quadratica differenziale 9 2 come 

 espressione del quadrato dell'elemento lineare di una varietà, di cui quelle 

 variabili rappresentavano le coordinate. Indicando con TJ una funzione arbi- 

 traria di queste, mi si sono così presentate delle espressioni a due o tre indici, 

 la cui considerazione si può sostituire a quella delle derivate seconde o terze 

 di U, e che hanno su queste il vantaggio di essere coefficienti di forme cova- 

 rianti a (fj z . Ho pure accennato alla possibilità di una simile sostituzione 

 per le derivate di un ordine qualunque. La utilità della sostituzione stessa 

 in ispecie nelle ricerche, che sono per loro essenza indipendenti dalla natura 

 della varietà o dalla scelta delle coordinate in una varietà data, è evidente. 

 Così per esempio queste espressioni (che chiamerò derivate covarianti nella 

 varietà di elemento lineare <f) dànno necessariamente forma più semplice 

 e perspicua a tutte le espressioni, che godono della proprietà caratteristica 

 dei parametri differenziali, e mi hanno permesso di dare alle equazioni, cui 

 deve soddisfare il parametro di una famiglia di luoghi ad n — 1 dimensioni 

 in ima varietà qual si voglia ad n e qualunque sia il sistema delle coordi- 

 nate per poter far parte di un sestema n. v%ll ° ortogonale, una forma tanto sem- 

 plice quanto quella data dal Darboux nel caso, in cui la varietà proposta sia 

 piana od euclidea e le coordinate siano cartesiane ortogonali. 



« Eeputo dunque opportuno il ritornare sopra questo argomento per dare 

 nella forma che mi appare più semplice, le espressioni delle derivate cova- 

 rianti di ordine qualunque e far notare le proprietà fondamentali, di cui esse 

 godono, qualora si riguardino come simboli di operazioni da eseguirsi sulla 

 funzione arbitraria U, il che metterà pure in evidenza una proprietà note- 

 volissima degli spazi piani da me già avvertita limitatamente alle derivate 

 covarianti di 3° ordine. Sul vantaggio di sostituire queste operazioni a quelle 

 di ordinaria derivazione, specialmente quando si tratti di ricerche del genere 

 sopra accennato, non occorre mi trattenga. Per esempio nel problema citato 

 dei sistemi n. upli ortogonali si giungerebbe direttamente alle equazioni gene- 

 rali nello stesso modo, con cui il Darboux giunse a quelle relative al suo 

 caso, speciale, semplicemente col sostituire la derivazione covariante alla 

 ordinaria. 



« Otterremo le espressioni delle derivate covarianti applicando un teorema 

 generale già dimostrato dal Chriotoffel di cui riporterò qui la dimostrazione. 



(') Ueber die Trans formation der homogenen differentialausdrìkke zweiten Grades 

 § 6, Borchardt's Journal, 70 er Band. 



