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« Data una forma quadratica differenziale 



I) <p 2 = 2r S a rs dx r dx s 



e posto 



cltC s dtJc y dtJCì 

 se alle n variabili indipendenti x r se ne sostituiscono altre n pure indipen- 

 denti u q e si conviene di indicare con x r lp \ Xr m \.. le derivate di ^rispetto 

 ad u p , ad u p ed u q ecc., si trova 



II) <p 2 = 2 pi (a PÌ ) dup du q , 



essendo 



1) ^J^Vl) — ^TS &TS Xf^ Xs • 



Se di più si conviene di distinguere mediante parentesi le quantità, che si 

 riferiscono alla espressione (II) di y 2 da quelle analoghe relative alla espres- 

 sione (I) e si pone 



d log a 

 c rs == 2 , 



dcCfg 



indicando con a il discriminante di y 2 e nella derivazione riguardando a sr 

 come distinto da a rs si ha dalle (1) 



(a rs ,i) = 2 g x g < 2 hli am,g %n x k -f- 2 h a hg x\ > 



e da queste 



2) Xh = 2*pq i^pq) (ttrs,q) Xlf ^pqt Cfip dqt,p %g %t 



« Si abbiano ora delle quantità con p indici TJ riri ..r p legate coi coeffi- 

 cienti di (p 2 per guisa che passando dalla espressione (I) alla (II) di questa si 

 passi dalle TJ rirì .. rp alle (U^..^) legate ad esse dalle relazioni 



3) (J^h 1 h ì ..hp) == ^TiTì.-rp Uri/ 2 ..rvp Xr^ Xr 2 • • Xr, P 



2> 



il che esprimeremo dicendo che le U*-^.^ sono coefficienti a p indici di una 

 forma covariante a y 2 . Derivando la (3) rispetto ad u hp+l e per le derivate 

 seconde delle x r sostituendo i valori dati dalle (2), valendosi poi di nuovo 

 delle (3) e ponendo 



A\ TT — ^Wj.-r-p y "-è" tt 



UXrp-t-i 1 



si avrà 



(Uft, } h ,. )— Xr t r 2 .. Ur, r 2 .. r p+1 Xrf ... Xr/^ . 



«. Questo risultato si può enunciare come segue : 



« Se le espressioni XJ ri n .. rp sono coefficienti a]) indici di ima forma 

 covariante a y 2 le U ri r 2 ..r :p + l date dalle (3) sono coefficienti «p-j-1 indici 

 di una forma pure covariante a <p 2 . 



