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« Se U è una funzione qualunque di le — sono coefficienti 



di una forma lineare covariante a y 2 . Mediante il teorema sopra dimostrato 

 possiamo dunque costruire successivamente delle espressioni con 2, 8, ..p indici, 

 per guisa che quelle con p indici siano coefficienti di forme covarianti a q % 

 e contengono le derivate di U fino all' ordine p. Si vede di più facilmente 

 che esse saranno tutte lineari rispetto alle derivate stesse, e che contengono 

 ciascuna una sola derivata di ordine p. Noi le chiameremo derivate cova- 

 rianti di ordine p nella varietà, che è definita in sè dalla espressione yr 

 del quadrato del suo elemento lineare. Dalle considerazioni fatte sopra risulta 

 che riguardando le TJ rir! „ rjl come simboli di operazioni da eseguirsi sopra 

 una funzione arbitraria IT, queste operazioni godono della proprietà distribu- 

 tiva, e che le derivate di ordine p di U si possono sempre esprimere linear- 

 mente per le derivate covarianti dello stesso ordine e per quelle degli ordini 

 inferiori. 



« Dalle (4) abbiamo per le derivate covarianti del 1° e 2° ordine le 

 espressioni 



TT (l ^r V TT 



~~d~x~ — m ars,h 



dalle quali deduciamo 



5) Urs ■ — ■ Usr • 



« Supponiamo ora che nelle derivate covarianti dell'ordine p — 1 i p — 1 

 indici si possono scambiare fra di loro senza alterare i valori delle derivate 

 stesse. Partendo dalle espressioni delle JJ r ^ t ..^4 ed U rir2 .. rp _ 2 r P analoghe 

 alle (4), sostituendo alle derivate delle derivate covarianti di ordine p — 2 

 le loro espressioni per le derivate covarianti di ordine p — 1 e omettendo dei 

 termini, che si elidono scambievolmente, si trova 



doo v (hoc y 



P-? / (in rlp 



■a r ,r.. -, — I U 



dx r Y ^dx r f" r i" r *-^+i-" r r-* 



'p—i ' p 



H~ Z-m c uv [Or h r p ,ti V rj .. r /l _ 1 tr h+1 .. ^^p-i - « ^r, ... vr h+l ... r p _ s rj 



P— 2 / \ 



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Eendiconti. 1887, Vol. IH, 1° Sem. 



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