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od in altri termini, in ogni spazio sono dati due piani; che devono essere 

 piani polari di due dati punti dell'altro. 



« In questo caso è 6=0 ; perchè in generale la punteggiata A^A^^fe 

 non è projettiva al fascio di piani a\ a' 2 . a\ a' 2 B\ B' 2 . 



« 7. Il quarto gruppo è (3 0 3 0) ; cioè le condizioni a cui devono soddisfare 

 le correlazioni eccezionali di terzo ordine sono: tre dati punti A 1? A 2 , A 3 del 

 primo spazio devono essere poli di tre dati piani u\ , a' 2 , a 3 del secondo ; 

 e tre dati punti del primo spazio B^Ba, devono essere coniugati a tre 

 dati punti B'x , B' 2 , B' 3 del secondo. 



« Per stabilire la correlazione è necessario porre £ = A,A 2 A 3 (3, a, e), 

 ed £=~B\ B' 2 B' 3 . La retta eccezionale e può essere imo dei tre lati del 

 triangolo A!A 2 A 3 ; posto per es. e = A 2 A 3 , sarà e' = s'a\, e secondo che si 

 pone E = A 2 oppure A 3 , risulterà E' = a' 3 t'a' 1 oppure a' 2 s'tt\. Quindi la 

 correlazione si può stabilire in sei modi ; cioè 6 = 6. 



« 8. Sieno ora le condizioni (3 0 21); cioè: 



Ai A 2 A 3 Bj B 2 y 



r r r tv tv r 



«! a 2 a 3 B x B 2 y 



« Anche in questo caso deve essere « = AiA 2 A 3 , ed e' sarà un piano da 

 determinarsi, che passa per la retta B'x B' 2 . Poiché questa retta sega i piani 

 a in punti differenti e poiché i tre punti A non sono in linea retta, ne segue 

 che dei tre piani a uno solo deve passare per e'. Sia per es. il piano a' x ; 

 sarà e = A 2 A 3 . Se il punto eccezionale E non coincide con A 2 , nè con A 3 

 sarà = a' i a' 2 a 3 , t' = E'B'iB' 2 , e' = t r a' l , e poiché / non passa per E' 

 dovrà y passare per E e quindi essere E = A 2 A 3 .y. Se poi E=A 2 sarà 

 E r = a j a 3 /, t' = ^'B\B' 2 ed e r =a\s'; e lo stesso dicasi se E = A 3 . 



« Dunque la correlazione si può stabilire in nove modi diversi ; cioè 6=9. 



« 9. Passiamo ora alla ricerca delle correlazioni eccezionali di terzo ordine, 

 che soddisfanno le dodici condizioni (213 0), cioè : 



Ai A 2 § d C 2 C 3 



a\ a' 2 B' G\ G' 2 G' 3 



« Il piano eccezionale e dovrà essere uno dei tre piani A!A 2 Ci , A!A 2 C 2 , 

 AÌA2C3 ed il suo, associato t' sarà rispettivamente B'G' 2 G' 3 , B'C' 3 C'i , B'dC^ . 

 In ognuno di questi tre casi per avere la correlazione eccezionale di terzo ordine 

 fra i due spazi bisogna stabilire fra i piani e, t la correlazione eccezionale 

 di secondo ordine per la quale i punti A x , A 2 e la retta @e devono essere 

 poli e retta polare delle rette a\ e , a 2 e' e del punto B'. Questa correlazione 

 si può stabilire in un sol modo ( ! ) ponendo E^AjAa.jtf, e=A x k 2 , K=s'a\a r 2ì 

 é = B' E' ; dunque avendo tre coppie di piani eccezionali associati, la corre- 

 lazione fra i due spazi si può stabilire in tre modi, cioè 6 = 3. 



(!) Hirst, Note on the Correlation of two Planes. Annali di Matematica tomo Vili, 

 pag. 291, n. 70. 



