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« Per 0' passano (n — 1) (»' — X) — p -j- d rette, ciascuna 

 delle quali sega la curva gobba in altri due punti fuori 

 di 0'. 



« Il genere di questa curva gobba è p -j- n — 1 ; se poi è v = 1 sarà 

 p = 0 ed il genere risulterà n — 1 ('). 



« 2. Costruiamo del piano n (per dualità) il piano reciproco n x . Fra i 

 piani ri e ttj vi sarà allora una corrispondenza reciproca (1 , v) di grado n; 

 cioè ad una retta di n x corrisponderà un punto di ri e ad un punto di ri 

 corrisponderanno v rette (congiunte) di tt, . Ai punti di questo piano corri- 

 spondono curve razionali di ordine n di ri ed alle rette di ri curve di n x 

 della classe n e del genere p . Supponiamo cbe i due piani rr 1 , ri sieno 

 sovrapposti, col solito metodo ( 2 ) si dimostra cbe il luogo ip r dei punti di ri, 

 cbe si trovano sulle rette corrispondenti di tt 1 , è dell' ordine n -f- v e cbe 

 questo luogo passa per i punti fondamentali di ri come le curve di questo 

 piano, cbe corrispondono ai punti dell' altro ; ed inoltre cbe l' inviluppo \p delle 

 rette di n x , cbe passano per i punti corrispondenti di ri è della classe n-\-l 

 e tocca, come le curve corrispondenti alle rette di ri, le rette fondamentali 



di TT Ì . 



« Sopra una retta di tt 1 non vi può essere più di un punto ad essa cor- 

 rispondente di ri ; quindi l' inviluppo ip non ba altre tangenti multiple cbe 

 quelle fondamentali; perciò il suo genere è 



i j (n — 1) n — 2r(r — 1) x r \ =p-\-n — 1 . 



« Poicbè la curva ip' è dello stesso genere di xfj , perchè vi è una cor- 

 rispondenza univoca fra i punti di xp' e le tangenti dell' altra, segue cbe 

 ip' è della classe 2 (2n -}- v — 2) -f- 2j9 ed ba 



1) 0 — 2) — 2r' {r — 1) »V — (r — 1) (2n + v — 2) ( — p 

 punti doppi fuori dei punti fondamentali. 



a Perchè un punto di ri sia doppio per ip\ è necessario che per quel 

 punto passino due delle v rette che ad esso corrispondono ; dunque : 



« Vi sono nel piano ri 



1) (n — 2) — Ir' (/— 1) x[ r — (v — 1) (2n + v — 2)\—p 

 punti, tali che per ciascuno di essi passano due delle v 

 rette congiunte corrispondenti. 



« 3. Proiettando i due piani precedenti ri, rr 1 da due punti 0', Oi otte- 

 niamo due stelle fra le quali esiste una corrispondenza reciproca (1 , v) . Il 

 luogo dei punti, ove le rette di 0' segano i v piani corrispondenti di Oi , è 

 una superfìcie dell' ordine n -f- v , che ha un punto r-plo in Oi , un punto 

 y/-plo in 0', e che contiene le rette ove i piani fondamentali semplici di 0! 



Cremona, Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane, Accademia di 

 Bologna, serie 2 a , tomo V. 



(-) Jung-, Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, 1885, pag. 773. 



