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e il teorema generale, che ora vogliamo dimostrare, è quello contenuto nelle 

 due formule seguenti : 



(4) N 2W = a 0 *-\-a 0 -{-a l *-{-a 1 -\-a 2 *-\-a 2 -\ h<-i+ a m-i+< (con a m =<) 



(5) N 2m+1 = a 0 *+«o+«i*-f-«i+«2*+«2H F«3^i+« w -i4-«m+«m • 



« 2. Kappresenteremo con S„ , S n * i due spazi lineari soprapposti, fra 

 gli elementi dei quali sussiste la corrispondenza algebrica ; con S p q uno spazio 

 qualunque a p dimensioni e di ordine q formato con questi elementi, che solo 

 per brevità di linguaggio supporremo siano punti, potendo essere del resto 

 elementi qualunque, purché della stessa natura in ambedue gli spazi corri- 

 spondenti S n , S n *. 



« È chiaro anzitutto che nel caso di n pari, ed uguale a 2m, (al quale 

 si riferisce la formula (4)) i numeri a m e a m * sono eguali fra loro. Infatti 

 a m denota l'ordine dello spazio che in S 2m corrisponde ad un S m * di B* n , 

 cioè il numero dei punti ch i esso ha a comune con S,,, 1 , ossia il numero delle 

 coppie di punti corrispondenti che stanno in S m J ; ma questo numero di cop- 

 pie rappresenta altresì l'ordine a m * dello spazio che in 8 2n corrisponde ad un 

 S m l di S 2W , ecc. ecc. 



« Ciò posto, noi mostreremo che, se le due formule (4) e (5) sono vere 

 per un certo valore di m, esse sussisteranno ancora per il numero intero con- 

 secutivo m -f- 1 . 



"3. Caso di n pari, ed uguale a 2 (m -{-!)• Determiniamo dap- 

 prima l'ordine del luogo generato da un punto P di S n , tale che la retta S/ 

 congiungente il medesimo con uno dei suoi punti corrispondenti P* di S„*, 

 passi costantemente per un punto fisso 0. Prendiamo a tale uopo un SVn+i 

 qualunque in S„: ad un punto H di S 1 2rt , +1 corrisponderanno in S )t * « 0 * 

 punti H* , che congiunti con 0 mediante spazi Si 1 daranno in S^m+i 

 altrettanti punti K; viceversa un punto K dà una congiungente S/e^KO, 

 la quale considerata come composta di punti H* ha per corrispondente in 

 S„ una curva Si a ' , che incontra S 1 2m +i in «i punti H. I punti H di 

 una retta Si 1 di S^m+i dànno in S„* una curva Si"**, che projettata da 0 

 sopra S^m+i dà quivi una curva dello stesso ordine a t * ; reciprocamente i 

 punti K di una retta di S 1 2m + Ì congiunti con 0 dànno un S 2 S al quale 

 (considerato come composto di punti H* di S„*) corrisponde in S n uno spa- 

 zio S 2 aa , che incontra S^m+i secondo una curva dello stesso ordine a 2 . In 

 generale ai punti H di un S; 1 (i<.m) di S^+i corrisponde per ipotesi in S„* 

 uno spazio S; a i*, che projettato da 0 sopra S^m+i fornisce quivi uno spazio 

 dello stesso ordine «;*, e ad i dimensioni, formato dai punti K di SV^+x 

 corrispondenti a quei punti H; e reciprocamente, i punti E di un S; 1 sono 

 dati dai punti H formanti in S 1 2m +i imo spazio ad i dimensioni dell'ordine 

 a i+1 , intersezione di S\ m+1 con lo spazio S^+> , che per ipotesi corrisponde 



