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quando si supponga verificata la relazione (4) ; che conseguentemente la cor- 

 rispondenza determinata in un fascio qualunque di S l 2m +z dalle coppie di punti 

 P, P * allineati con 0, ammette : 



fi -f II* = a 0 -j- a 0 * -f - 2 j cc ì -j- ai* -f- a 2 + «2* + + «m+i + «*m+i | 



elementi uniti ; che di questi un certo numero, cioè : 



E = «l + «l* + «2 + «2* + + «W-H + = ^ «0* = A* «0 , 



sono assorbiti da queir S 1 2 m+ 2 che passa per 0 ; e che infine il numero dei 

 rimanenti piani uniti del fascio equivale ad : 



N 2m +3 = «0 + «0* + «1 + «1* + + «Wl + ; 



il che dimostra appunto la formula (5), la quale si sapeva esser vera per 

 m=l in virtù della (3). 



« 5. Come applicazione delle formule trovate, determineremo il numero 

 dei punti di S„ , che hanno lo stesso SV-i polare rispetto a due spazi gene- 

 rali S p n -i , S ? „_i . A tale oggetto osserviamo che (designando in generale 

 con 2 ? a uno spazio a q dimensioni e di grado e i cui elementi generatori 

 sono i piani S l n -i di S„) dalle prime proprietà delle forme polari si deduce 

 tosto che « i piani polari dei punti eli un S/ rispetto ad una super- 

 ficie SV-i generano un 2 r (p ~ 1 '' r 71 • Abbiamo quindi che i punti P di un S,. 1 

 hanno per piani polari rispetto ad S p „_i gli elementi di un 2 r ( P- l)r , e i poli 

 di questi piani rispetto all' altra superfìcie S ? „_i generano uno spazio 

 $/p- l)r ^- 1)n ~ r di punti P*, il quale è dell'ordine (p — l) r . (q — l)"- r , 

 poi che ha a comune con un qualunque SV-r tanti punti, quanti sono gli ele- 

 menti comuni al relativo a questo S 1 ,^ , e al S r ( P- l) ''' relativo a 



quell' S r '. Reciprocamente, i punti P* di un S/ conducono ai punti P di 

 un S r (?-1) ' (p-1)W- ^. Nella corrispondenza fra i punti P,P* di S„ abbiamo 

 quindi : 



«o* = (q — l) n , a 0 = (p — l) n \ 



a* =(p-l) (q - iy~ l , = (q - 1) (p - l)"" 1 f per n = 2m 



«m* = «« = (p — i) m . (q — l) m 

 e 



0 * =( q — ìy , a 0 = (p — iy 



= (P - 1) (q - l)"- 1 ,«i = (?-l) 0> - l)"" 1 (per ^=2m+l; 



««* - O — l)"*. (? — l) w+1 , «« = (q — (JJ — 

 e in ambedue i casi, per le (4) , (5) : 



(p — 1 — (q — 1)" + 1 < 

 N M = — 1 ' — , se p^q , e 



p q 



N W = (« + 1)Q> — 1)" , se p = #. 



« Tale è il numero dei punti richiesti, ossia l' ordine del gruppo jaco- 

 b i a n o individuato dalle due superficie S^-i , S q n -i " • 



