— 247 — 



indicando con a\ , cu le ultime due fra le cinque quantità a 0 , a.\ .. a 4 , e scri- 

 vendo per brevità {rs) = a r — a Sì (rm) — a r — a m . Sostituendo, si otterrà 

 quindi la prima relazione : 



Cin0gp r , , (l'Ioga , rf 8 lQgjJ r _ 2 



« Per una stessa funzione p r si avranno evidentemente sei relazioni ana- 

 loghe alla superiore quante sono le combinazioni a due a due delle quattro 

 quantità a s , à m , a\, cu\ tre di esse sono però conseguenza delle altre. Per- 

 mutando in questa gli indici s, A, e sottraendo da essa quella che ottiensi 

 colla indicata permutazione, si ha : 



ossia : 



. d*hgp r . d 2 logp r , .p 2 rm 2 



(5) + Clm = {m )w - pm ■ 



« Si permuti nuovamente in quest' ultima I* indice m coli' indice fi, e 

 moltiplicata la stessa per ~a r — a {J . vi si aggiunga quella che ottiensi dalla 

 permutazione moltiplicata per a m — a r ; dopo facili riduzioni si giunge alla: 



d*logp r , ^ 2 logjJ,- f (a r ) _ , 

 w du x du 2 ^ ar du z * ~ p/ l r 



« Affatto analogamente per la relazione (3) si ottiene : 



d- logjv,, . , . , rf 2 log p rs , d 2 logj»„ 

 dui 1 ' r/ ^ ^ 2 i > ^ 2 2 



[Prs P'Au. {Pr\ Ps>J, + Psk pry) — Pr\ ps\ Pr[>. Ps<j.~] 



P 2 



ma : 



PskPry. =PrsP\y. — (fis) p m ; jtoity =PrsPXu. — (%s) (fir) p m 



quindi sostituendo : 



e per una stessa funzione p rs si avranno tre relazioni della stessa specie. 



« Permutando in questa gli indici l, m; poi gli indici fi , m ; e molti- 

 plicando le tre equazioni, la prima per (Ifi) (mr) (ms) , la seconda per (firn) 

 (Xr)(h), l'ultima per (mi) (fir) (fis) , e sommandole si giunge alla: 



#log]v s , , ^logjy, ^logj?» . , f(dr)f(a s ) 



(8) + K + ((s) ~d^ + * Ck ~ P rs + (a r -a s )y rs 



« 3.° Nelle relazioni (1) (2) sostituiamo alla funzione &(ui,u t ) una fun- 

 zione g(ui,u z ), che denomineremo la sigma fondamentale, legata alla prima 

 dalla relazione : 



( 9 ) «■) = «' Q(0) 



