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pei seguenti valori di r e di s : r = 1 , s = 3 ; r = 2 , s = 4 ; r = 4 , s = 0 ; 

 r — 0, s = 2 ; r = 0,s = 3; r = 0,s = l; r = 2 , s = 3 ; r = 4,s = 3: 

 r = 2 , s — 1 ; r = 4 , s = 1 ; o reciprocamente. 



« Notiamo dapprima che indicando con a r , « s , a m , «x , a,,, le cinque quan- 

 tità a 0 , ai, ... a 4 , i coefficienti a.,. s ,/?,. s , hanno i seguenti valori: 



«rs = — «m a\ a,j. — a r a s (a m -f- àx + — | A 3 

 ^ rs = a r a s — A 2 , y,. s = — (ffl r -\-a s ) — \ ki . 



od anche : 



a rs = (a r + «s) 3 — «r («r- + a s ) -4- Aj -f- «,) 2 -j- A 2 (a r -f- « s ) -{- f A 3 . 

 « Questi valori conducono alle relazioni : 



a rs — òcxìj. = a\ a,,. (a r -f- a s ) — a r a s (a% -f- 



(1) 



ft-s — ft\y. = a r a s — a\ a v . , y rs — ÌXy. = «X + % — «r — «s 

 supposto r, s ; A, ,d disuguali ; ed alle : 



a rs — a rm = (a s — a m ) [_a\ a». — a r («x + %)] 



(2) 



— £m = («s — «m) , )Vs — Yrm = «m — «s 



delle quali si farà uso più avanti. 



« Questi valori di a rs , , y rs dimostrano essere : 



Ss — O 



estendendosi il segno sommatorio alle dieci forme f . L' analoga somma pel- 

 le potenze seconda, terza .... di f, conduce ad altrettanti covarianti della forma 

 di sesto ordine: 



/Oi , **) — Si (g, — a 0 Zi) (g 2 — ai gì) .... (.- 2 — a 4 g x ) = g> * 2 ) *p , s 2 ). 

 « Così, per esempio, indicando con k il covariante biquadratico: 



k = \{ff)i 



si ha : 



2 e 2 = 4 . 5 . 9 . k {z x , g t ) 



ed indicando con p il covariante di sesto ordine p = (fk) 2 , si ottiene : 



2'* 3 = 4.5.3\p(£ 1 ,£ 2 ) 



ed analogamente per potenze superiori. La stessa proprietà sussiste rispetto 

 agli invarianti; ad esempio indicando con A l'invariante quadratico j(ff)e 

 dalla forma f(g x , g 2 ), si ha : 



2(«r.to- $s)=4.9.A. 



« Evidentemente fra quattro funzioni quadratiche s deve sussistere una 

 relazione lineare. Eappresentando con c, c 0 , c 2 , ... c 3i i valori delle corrispon- 



