— 371 — 



Essi soddisfano ad una relazione ricorrente (equazione alle differenze finite a 

 coefficienti costanti). Infine, se X x è un numero positivo qualunque maggiore 

 di l ed M è il limite superiore dei valori di A (x, y) per x in C\ e per 

 {y)>.l x , si ha: 



(4) | k n {x) KM2,". 

 « 3. — Consideriamo ora 1' espressione : 



(5) A.(xp)= I k(x ì y)<j>{y)dy , 



dove l' integrazione è estesa ad una circonferenza di centro o e di raggio q, 

 e dove (p (y) è una funzione uniforme singolare nel solo punto y — a esterno 

 al cerchio q, e nulla all'infinito. 



« La funzione y (y) ammette le due espressioni : 



PO 



(6) <p(y) = y 



valida in tutto il piano, e 



co 



(7) 9 [y) = X kn y n -- 



valida in un cerchio di centro o e di raggio | a | . 



« Se x è preso entro il campo O p , si può sostituire nella (5) ad k(x, y) 

 la sua espressione (3), e per tali valori di x, si avrà per A. (9) lo sviluppo 

 convergente uniformemente : 



co 



(8) A^( ( p) = ^_/c n A n (x); 



ma q essendo soggetto alla sola condizione di essere minore di; [ a \ , ne risulta 

 che la serie del secondo membro della (8) converge uniformemente in tutto 

 il campo e, a 1 • 



« D' altra parte, si ha per il teorema di Cauchy : 



00 



(9) A(9)= _y 



M=0 



C n l) n k(x, a) 

 ni ~òcc n 



e qui, siccome il sistema (c n ) è ologene e la serie 



converge per valori di | y — a\ sufficientemente piccoli, e per ogni valore di x 



che non sia radice dell' equazione 



(10) f(x, a) = 0, 



Rendiconti. 1887, Vol. Ili, 1° Sem. 47 



