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« La terza parte è una funzione di quelle indicate a § 4, ed è singolare 

 solo nei punti Oi, o 2 ,...o p . 



« Bimane da studiare la somma 



(19) 



co_ 



]Ta(f„). 



« Ognuna delle fimzioni A(I\) comprese in questa somma, si può rap- 

 presentare in tutto il campo O^i , ed a fortiori nel campo Cx, mediante 

 la serie convergente uniformemente : 



oo 



^~ A 5 , {se) . 



Preso dunque un numero positivo X x tale che sia 

 sarà per la (4) : 



oo 



k->,n A« (»?) 



e quindi, per la (14) : 



oo 



Ya(p,) 



oo 



<M ^ V)i ,V, 



oo 



<mY 



« Con ciò è dimostrata la convergenza assoluta ed uniforme della serie (19) 

 in tutto il campo Cx. 



« Da cui risulta che la A.(</>) è una funzione analitica, 

 monogena, uniforme, regolare in tutto il piano, meno i punti 

 radici delle equazioni: 



f(%, a,) |= 0, (v = 1, 2, ... oo) , 

 e questa funzione è rappresentata nel campo C ? dall' inte- 

 grale (15), e nel campo 0 !a , | dalla serie (17). 



«8. — A ciò che precede possiamo aggiungere le seguenti osservazioni: 

 1°) Le singolarità della funzione A(</>) nei punti radici di f{x,a s )=0 

 sono caratterizzate da quelle delle funzioni 



v- /A(a, «>,) 



2°) Le funzioni analitiche rappresentate dagl' integrali definiti (15) 

 in campi diversi da C ? , si deducono senza difficoltà da A(y) mediante 

 1' applicazione del teorema dell' Hermite. 



3°) È da notare che le singolarità di A(r/) dipendono come numero 

 e specie da quelle di g>, mentre la loro distribuzione nel piano dipende dalle 

 singolarità di A (x, y ). 



