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alla teoria delle sostituzioni per trattare delle questioni sulle equazioni dif- 

 ferenziali. 



* Il legame fra le due teorie è però molto più intimo di quanto può 

 resultare a primo aspetto, perchè si può dimostrare che vi è una dipendenza 

 diretta dell'una dall'altra, la quale pone anche in chiaro la stretta analogia 

 che sussiste fra la integrazione delle funzioni e quella delle equazioni diffe- 

 renziali lineari. Si possono infatti trovare due operazioni infinitesimali sulle 

 sostituzioni (i cui elementi si immaginano variabili) analoghe alla derivazione 

 e alla integrazione ordinarie, le quali danno direttamente il passaggio dagli 

 integrali fondamentali di una equazione differenziale lineare ai suoi coeffi- 

 cienti, e inversamente dai coefficienti agli integrali fondamentali. 



« Abbiasi una sostituzione lineare S di ordine n (a determinante sempre 

 diverso da zero) i cui elementi sono funzioni finite e continue di una varia- 

 bile x derivabili rispetto a questa variabile, e si consideri la sostituzione per 

 due valori infinitamente vicini della variabile: x e x-\-dx. Denoteremo le 

 due sostituzioni rispettivamente con S a . e $ x +doc- 



« Formiamo 



Sa; 1 ^x-hdx : ^x+doc Sa; 1 ; 



queste saranno due sostituzioni infinitamente prossime alla identità, vale a 

 dire tutti i loro elementi saranno infinitamente piccoli eccettuati quelli lungo 

 la diagonale che differiranno infinitamente poco dalla unità. Tolta l'unità da 

 questi elementi, dividiamo ogni termine per dx e passiamo al limite col far 

 tendere il dx a zero. È facile dimostrare che le due sostituzioni limiti esistono, 

 ed esse possono considerarsi come le due derivate della sostituzione rap- 

 porto ad x, prese rispettivamente a destra e a sinistra. 



« Inversamente data una sostituzione T i cui elementi sono funzioni 

 continue di una variabile x, si può dividere l'intervallo in cui essa è defi- 

 nita in n parti Ih , h 2 , . . . ., h n e considerare le sostituzioni Ti , T 2 , . . .. 

 T n corrispondenti a n valori di x compresi negli intervalli suddetti. Molti- 

 plicati gli elementi di T ( per hi e aggiunta l'unità a quelli in diagonale, si 

 otterrà una sostituzione R, che si avvicinerà indefinitamente alla identità 

 coll'impiccolire indefinito di /<,-. 



« Peraltro i due prodotti di sostituzioni 



Ri R 2 .... Rh , Ri, Rji— i Rj Ri 



coll'impiccolire indefinito di hi Ih ... . h„ tenderanno in generale verso due 

 sostituzioni limiti diverse dalla identità. 



« Questa operazione può chiamarsi integrazione di iena sostituzione ed 

 è evidente che, come la derivazione, essa può eseguirsi in due modi diversi 

 che possono respettivamente denotarsi con integrazione a destra e a sinistra. 



« Le operazioni così stabilite di derivazione e di integrazione sono 

 inverse una dell'altra, vale a dire se si integra a destra una sosti- 

 tuzione, e poi considerando la sostituzione integrale come 



