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funzione del limite superiore dell'intervallo di integra- 

 zione, si deriva a destra, si ritrova la sostituzione primi- 

 tiva, e lo stesso vale per le integrazioni e derivazioni a sinistra. 



a Come teorema fondamentale si ha che la derivata a destra di 

 una sostituzione non varia se si moltiplica a sinistra la 

 sostituzione per una sostituzione costante, e che tutte le 

 sostituzioni che hanno per derivata a destra una stessa 

 sostituzione, debbono differir e per sostituzioni costanti che 

 moltiplicano a sinistra. Un teorema correlativo si ottiene per la deri- 

 vazione a sinistra. Si ha inoltre la proprietà: 



«Derivando o integrando a destra o a sinistra la trasfor- 

 mata di una sostituzione variabile mediante una sostitu- 

 zione costante, si ottiene come resultato la trasformata 

 mediante la sostituzione costante della derivata odell'inte- 

 grale di quella variabile. 



« La proposizione che lega la teoria della integrazione e della deriva- 

 zione delle sostituzioni colla teoria delle equazioni differenziali lineari è la 

 seguente : 



« La integrazione di una equazione differenziale lineare 

 omogenea di un ordine qualunque può ridursi alla integra- 

 zione di una sostituzione. Così l'integrale sinistro della sostituzione 

 0, 1, 0, . . . , 0, 0 



0, 0, 1, . . . , 0, 0 



T 



0, 0, 0, . . . , 0, 1 



Pn 5 Pn— l i P>i—2 i • ■> P% 0 



ove p% , p 3 , .... p n sono funzioni di x, è la sostituzione 

 Vi , V 2 , v 3 , V n - X , v f 



V'i , V\ , V' Z , V'^y , v' 



ove Vn v z , .... v n rappresentano un sistema di integrali fondamentali della 

 equazione differenziale 



y w =P-2 y^ + ih y (,i - 3) + + pn-i y' + p» y . 



Adoperando i simboli analoghi a quelli che si usano nel calcolo scriveremo 



S = f T dx , T = ~ ■ 



;■ v . : ■ J dx 



« Riconosciuto in tal modo il legame fra la teoria delle due operazioni 

 infinitesimali sulle sostituzioni e quella delle equazioni differenziali lineari, 

 Rendiconti. 1887, Vol. Ili, 1° Sem. 50 



