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3 a elasse: superficie per le quali gli invarianti che compaiono nelle 

 equazioni (2) sono diversi da zero. Non è possibile per esse effettuare la 

 precedente riduzione simultaneamente nelle due forme y>, % ; e le loro linee 

 di curvatura non possono essere le intersezioni dei sistemi di superficie a 

 due dimensioni di alcuno dei sistemi tripli ortogonali in esse esistenti. Veg- 

 gasi il § 6. 



§ 3. Considerando la seconda classe, io dimostro che una sola condi- 

 zione è necessaria e sufficiente affinchè una superficie a tre dimensioni vi 

 appartenga ed è la 



esprimente che le a r sono proporzionali alle derivate di una medesima fun- 

 zione; che la condizione precedente e le (5), associate, equivalgono alle 



(5 ) &rs '~ = ^sr ì 



esprimenti che le <x r sono le derivate di una stessa funzione a ; che infine 

 le § r , y r sono proporzionali alle derivate di due funzioni e , ij . Eguagliando 

 queste e la a a costanti si hanno le equazioni di tre sistemi di superficie 

 costituenti nella superficie a tre dimensioni considerata un sistema triplo 

 ortogonale. 



Ora si consideri quella che il Ricci chiama equazione algebrica carat- 

 teristica della congruenza a r nelle varietà <p, e che nel caso nostro si ri- 

 duce a 



(Sì) a* -{- a>J 2l (cc) + J 2ì (a) = 0 



J Z i e J%2 essendo i noti parametri differenziali di secondo ordine della fun- 

 zione a. Se questa equazione ha le radici <a h , co k distinte, le p r , y r sono 

 completamente definite dalle : 



(9) (o) k — (Oh)PrPs=w ìi (a rs — a r a s )-\-a rs ; (oo h — <» ft ) y r y s =(a h (a rs — a r a s )-{-a rs 



ed è quindi pienamente determinato il sistema triplo ortogonale accennato. 

 Se invece le radici della (Sì) sono eguali, il che è in sostanza espresso dalla 

 condizione 



(V) 4J 22 (a) — J^) 2 =0 



le I3 r , y r sono indeterminate ed è indeterminato il precedente sistema triplo 

 ortogonale in quanto che, scelto ad arbitrio un sistema ortogonale al si- 

 stema a = cost. (determinando un integrale qualunque e dell' equazione 



y „w ÉL — a 



r dr 



ed eguagliando £ ad una costante) ne esiste un terzo ortogonale ad entrambi, 

 il parametro del quale si ottiene, secondo il § 13 della Memoria del Ricci 

 Rendiconti. 1899, Voi. IX, 2° Sem. 3 



