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§ 4. Si osservi che la condizione affinchè una superficie a tre dimen- 

 sioni a curvatura totale nulla appartenga alla classe F è espressa da una 

 equazione, la (8), che da una parte sarebbe facile porre sotto forma in- 

 variantiva, e dall' altra non dipende se non dai coefficienti dell' elemento 

 lineare. Posto che la superficie sia deformabile, tale condizione sussiste anche 

 per tutte le sue deformate, in quanto che esse hanno in comune 1' elemento 

 lineare ; ossia ogni deformata di una superficie della classe r appartiene 

 alla classe slessa. Anzi, come questa può dividersi in due sottoclassi, ascri- 

 vendo alla prima tutte le superficie per cui è verificata la condizione (V), 

 alla seconda tutte le altre, ripetendo le considerazioni precedenti si conclu- 

 derà che tutte le deformate delle superficie di ciascuna sottoclasse riman- 

 gono nella sottoclasse medesima. 



Se le radici della (ii) sono eguali, l' integrazione combinata delle (11) 

 e (13) conduce ai due tipi di elementi lineari seguenti: 



(/) ds 2 = da 2 -f f 2 (s , ry) de 2 + <p 2 (s , ry) drf 



(g) ds 2 = da 2 -f a 2 \_f 2 {s , ry) de 2 -\- <p 2 (s , ry) &rf\ . 



Conviene studiare la deformabilità delle superficie appartenenti alla sot- 

 toclasse che si considera direttamente sulle equazioni (II). Trasformando 

 queste col riferirsi air elemento lineare (d), si ha: 



db ts l^M n db™ n ^l 3 



da~Mda da~Xdcc- 33 ~- {) '' da M da 



d v ds M. dt] b%2 ~ N 2 d V * 33Ì ~\M ds N ds) 023 ~ u 

 db 33 db 23 I^N, ±dM\ 

 de ~ drj ~~N de b ™~W ds ^ 2 + ^N dr, M. drj ) 



a cui deve associarsi 1' equazione che risulta dall' eliminazione di G fra la 

 (e) e la (12), cioè la: 



b 2 23 — b 22 b 33 gg , |/lg\j A/l 

 * ' MN ~ rfa da + df \M rfe / dry\N d*y / ' 



Nel caso dell' elemento lineare (/) tutte queste equazioni si riducono a 

 tre che coincidono con le due equazioni di Codazzi e con l' equazione di 

 Gauss appartenenti alle superficie a due dimensioni dello spazio euclideo: 



(16) dsì = f 2 (s , ry) ds 2 -f <p 2 (s , ry) dry 2 



Quindi le due seconde forme fondamentali delle superficie a tre dimensioni (/) 



