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e delle superficie (16) coincidono; e le prime sono deformabili avendosi una 

 deformazione di esse per una deformazione delle (16) e reciprocamente. 

 Nel secondo caso tre delle equazioni (14) sono soddisfatte con 



# 22 = ab\% ; b 3ì — - ab' 33 ; b 23 = ab'23 



essendo b' 22 , b' 33 , b\ % funzioni di e , ?; soltanto ; eseguendo questa sostituzione 

 nelle equazioni rimanenti e nella (15), trovasi che tali funzioni devono sod- 

 disfare a tre condizioni, di cui due coincidono con le equazioni di Codazzi 

 relative alle superficie (16) dello spazio euclideo; l'altra: 



b 23 b 22 b 33 



1 ìJ_£*YÌ cicp\ d_(idf\ì 



~~ T f.(p\ds\f ds)^ 'dr]\y> drjj ) 



differisce dall'equazione di Gauss relativa alle superficie stesse per un ad- 

 dendo costante. Segue anche qui che le varietà a tre dimensioni di elemento 

 lineare (g) sono deformabili con altrettanta arbitrarietà quanta è consentita 

 ad una superficie (16) dello spazio euclideo. Talché dato l' elemento lineare 

 in coordinate ortogonali di una superficie a due dimensioni qualunque dello 

 spazio euclideo, si possono costruire immediatamente in (f), (g) gli elementi 

 lineari di due distinte superficie a tre dimensioni a curvatura totale nulla, 

 della classe r, deformabili; si hanno così tutte le varietà della sottoclasse 

 ora studiata. 



§ 5. Se le radici dell' equazione (Sì) sono distinte, abbiamo visto che 

 le p r , Yr e quindi il sistema triplo ortogonale a cui appartengono le super- 

 fìcie « = cosi, sono pienamente determinate, e sono quindi determinate le 

 linee di curvatura della superficie a tre dimensioni, in quanto che esse ri- 

 sultano dall' intersezione due a due dei sistemi di superficie a due dimen- 

 sioni, che compongono il sistema triplo stesso. E poiché la composizione di 

 questo non dipende che dall'elemento lineare, e perciò non varia nella de- 

 formazione della superficie, ne segue che se una superficie a tre dimensioni 

 della sottoclasse che ora si considera è deformabile, nella deformazione 

 si conservano le linee di curvatura. 



Lo studio di tale deformazione può farsi tanto sulle equazioni (14), (15), 

 di cui è facile, posto che è b 23 = 0, scrivere la forma ridotta ; quanto sulle 

 (7) che, sostituendo alle § r , Yr i loro valori (9) e riferendoci alle nuove coor- 

 dinate, dànno: 



A queste dovranno associarsi le equazioni che risultano eguagliando i valori 

 delle derivate miste di secondo ordine della funzione incognita z : esse si ri- 

 ducono ad una, che può ottenersi facilmente anche in coordinate generali : i 

 coefficienti di tale equazione hanno forma invariantiva, e non dipendono che 



