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Matematica. — Sulla deformabilità delle superficie a tre di- 

 mensioni. Nota del dott. Remigio Banal, presentata dal Socio 

 Beltrami. 



Se si indicano col nome di superficie a tre dimensioni delle varietà qua- 

 lunque contenute nello spazio euclideo a quattro dimensioni, è noto dalle ri- 

 cerche di molti geometri, principalmente del Beez e del Ricci, come ad esse 

 non si estenda la proprietà delle superficie ordinarie a due dimensioni di 

 poter esser deformate senza alterazione del loro elemento lineare: esse pos- 

 sono solo mediante traslazioni e rotazioni, quasi fossero rigide, mutar posto 

 nello spazio. Questo teorema soffre tuttavia delle eccezioni, e il Killing ( ! ) 

 per il primo mise in luce una di queste, avendo dimostrato che le superficie 

 ad n dimensioni contenenti una schiera di piani ad a — 1 dimensioni sono 

 deformabili. 



Successivamente lo Schur ( 2 ) intraprese una trattazione sistematica del- 

 l' importante questione ; dopo aver dimostrato esistere altre superficie defor- 

 mabili oltre quelle del Killing, riconduce, salvo casi speciali richiedenti 

 una speciale trattazione, il problema stesso ad un' elegante questione di 

 geometria a due dimensioni: determinare le superficie le quali, entro uno 

 spazio sferico a tre dimensioni, sono deformabili in guisa che due sistemi di 

 linee coniugate tracciate su di esse si trasformino in altri due della stessa 

 specie. Sciogliere questo difficile problema non è riuscito allo Schur, nè ad 

 altri, eh' io mi sappia, dopo di lui, nè per altra via, per quanto mi consti, 

 furon fatti progressi degni di nota. In un mio studio sistematico sulle forme 

 differenziali quadratiche ternarie di prima classe a curvatura totale nulla, 

 del quale alcune parti si sono già pubblicate, io ritrovo e tratto, fra le altre 

 questioni, quella della deformabilità, con metodi indipendenti da quelli dello 

 Schur, fondandomi, secondo procedimenti oramai classici, sulla considerazione 

 delle due forme fondamentali che competono ad una superficie a tre dimen- 

 sioni. Qui presento, in parte riassunti da questo studio, in parte accennati 

 soltanto, alcuni risultati concernenti la risoluzione del problema, per una 

 classe, vastissima, delle tre in cui ho ripartite le forme differenziali di cui 

 mi occupo ; considerando il problema stesso dal lato che è, a mio avviso, il 

 più importante, di stabilire un criterio per riconoscere se un elemento li- 

 neare dato appartiene ad una superficie a tre dimensioni deformabile. Questa 

 Nota contiene inoltre tutti gli elementi essenziali per lo studio della que- 



(') W. Killing, Die Nicht-Euklidischen Raumformen. Lipsia, Teubner, 1885, pa- 

 gine 238, 239. 



( 2 ) Fr. Schur, Ueber die Deformation eines dreidimensionalen Raumes in einem 

 ebenen vierdimensionalen Raume (Mathematische Annalen, Bd. 28). 



