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stione per la terza delle classi accennate, studio del quale mi riservo d'esporre 

 i risultati in una prossima pubblicazione, mentre ho già fatti noti quelli ri- 

 ferentisi alla prima classe. 



§ 1. Dato un elemento lineare positivo a tre variabili 



io mi propongo di stabilire i criteri per riconoscere se esso appartiene ad 

 una superficie a tre dimensioni deformabile o no. In linguaggio analitico mi 

 propongo di riconoscere se per tale elemento esiste una seconda forma dif- 

 ferenziale 



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i cui coefficienti soddisfino alle note equazioni fondamentali del Eicci( 1 ): 



(I) \a\.CC Hrs) = br-t-is+l b r +2s+2 — br+is+2 b r +2*+\ 



(II) brst = brts 



e in quali casi queste equazioni sian tali da definire i coefficienti b rs (su- 

 perfìcie non deformabili), o possano esser soddisfatte da un sistema di fun- 

 zioni b r s contenenti una o più costanti o funzioni arbitrarie (superfìcie defor- 

 mabili ( 2 )). È notissimo che se il determinante \a'™\ e quindi il determi- 

 nante \b rs \ sono diversi da zero, le b rs sono già definite dalle (I), e la su- 

 perficie a tre dimensioni corrispondente, quando esista, quando cioè gli otte- 

 nuti valori delle b, s soddisfino alle (II), non è deformabile. È pur notissimo 

 che la proprietà la quale caratterizza geometricamente queste superficie è 

 T esser diversa da zero la curvatura totale (prodotto delle tre curvature prin- 

 cipali) che ad esse appartiene. 



Consideriamo le superfìcie per le quali i due determinanti precedenti 

 sono nulli ( 3 ). Nella mia Memoria: Sulle varietà a tre dimensioni con una 

 curvatura nulla e due eguali (Annali di Matematica pura e applicata, 1896) 

 io dimostrai che le condizioni necessarie e sufficienti affinchè una forma dif- 



(i) Per tutte le proprietà relative alle forme differenziali quadratiche e per le ope- 

 razioni col metodo del calcolo differeziale assoluto contenute in questa Nota, veggasi: 

 Ricci, Dei sistemi di congruenze ortogonali: Memorie della R. Accadeima dei Lincei, 



serie V, voi. II. . . , ,. 



(«) Nelle equazioni (I), (II), \a\ è il discriminante della forma <p; « <"> i simboli di 

 Riemann relativi alla forma stessa; b rs t le derivate covarianti delle funzioni b rs . 



(3) Si osservi che insieme col determinante K<«>| .si annullano i suoi minori di 

 secondo ordine, il che è espresso dalle equazioni (III). 



