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ferenziale quadratica ternaria cp appartenga ad una superficie di questa 

 classe sono: 



1°) che i simboli di Riemann della forma (f verifichino le equazioni: 



(III) a' c, " s> = G . « (rt . « <s) ; 2 r « <r) «r = 1 



G essendo un invariante la cui forma generale è (rs) , e che rappre- 



senta la curvatura di Gauss (prodotto delle due curvature non nulle) della 

 superficie ; 



2°) che le equazioni (II) possano esser soddisfatte con funzioni della 



forma 



(IV) b rs = c§ r fi, + gy r y s 



fì r , Yr essendo due sistemi semplici che verificano le equazioni 



(a) 2 r cc w p r = 0; 2 r a M Y r = 0; 2 ri 3 m y r = 0 



(b) 2rPrP lr) = 1 5 2 r y<rly r = 1 



e e, g due funzioni legate dalla 



(e) cg = a 



le quali, mutato il segno, rappresentano le due curvature non nulle della 

 superficie considerata. Trasformando le (II) con l' introdurre le nuove fun- 

 zioni /? r , y r , c , g , e riducendo le equazioni trasformate a forma invariantiva, 

 si hanno le : 



(1) 2 r a^ l r = 0; 2 r a w t*r = 0 



( c(2 r « (r> g r -j- 2 r Y (r) K) — g?r « (r> Q r = 0 ; 



(2) ] o2 r « <rt o r + g{2 r §^ (ir — 2 r a M $ r ) = 0 ; 



( <?JS r Y^ *r — £-2 r /5 (r> [*r = 0 



(3) p (r) A r — 2 r C r ; 0 2 r 7 (r> ,«r = ^r- « (r) #r 



(4) (ff — 0)^jS< rt e r + 2 r y<"<v==O; (c-^^f. + ^f'j^O 

 le X r , ii r i Qr essendo date dalle posizioni 



X s = 2 r fl^ r) fi rs ; jU s = 2 r tt (r) Yrs ! Cs = — -^r /^ <r) 7rs • 



Divideremo queste equazioni in tre gruppi: 



1° gruppo : equazioni da cui si possono fin d' ora eliminare le funzioni 

 incognite; sono le 



(5) 2 S a rs = 0 

 equivalenti alle (1), e la 



(6) G2 rs a lrs) a rs + 2 r G r = 0 



