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che risulta dalle (3) moltiplicando la prima per g, la seconda per e e som- 

 mando. In queste equazioni le cc rs e le Gy rappresentano le derivate cova- 

 rianti rispettivamente delle funzioni a r e Gr. 



2° grappo : equazioni che contengono le indeterminate c, g, soltanto 

 algebricamente. Sono le (2) e si riducono a due distinte. 



5° gruppo : equazioni che contengono le derivate di e, g. Si possono 

 assumere per esse le (6) assieme ad una delle (3), p. es. la prima. Eli- 

 minando una delle funzioni c, g, p.e. g mediante la relazione (e) e posto 

 c 2 = s, abbiamo : 



( 2 r « Cr) Zr = 2* 2r ^ K 



{ Srf" 2 r =2{G — Z)2 r ^ Qr 



§ 2. Le equazioni del 1° gruppo rappresentano condizioni a cui devono 

 soddisfare i coefficienti della forma g>, affinchè essa appartenga ad una super- 

 ficie a tre dimensioni. Dall' esame delle equazioni del 2° gruppo si rileva 

 che se è nullo uno degli invarianti 2 r Y (r) K , F r) t*r, è nullo anche 1' altro, 

 ed è altresì nullo il terzo invariante 2 r a^g r , oppure è c = g. Quindi po- 

 tremo ripartire tutte le superficie a tre dimensioni a curvatura totale nulla 

 in tre classi: 



1* classe: superficie per Qui le due curvature principali c, g sono 

 eguali. Caratteristica di esse è il potersi in infiniti modi ridurre insieme 

 1' elemento lineare e la seconda forma fondamentale che loro compete a con- 

 tenere soltanto i quadrati dei differenziali delle variabili. Geometricamente 

 esistono in una varietà di questa classe infiniti sistemi tripli ortogonali tali 

 che due qualunque dei sistemi di superficie a due dimensioni che compon- 

 gono ciascuno di essi si tagliano lungo le linee di curvatura della varietà 

 stessa. Lo studio di questa classe forma V oggetto della mia Memoria già 

 ricordata; e la questione della deformabilità delle superficie che ad essa ap- 

 partengono è completamente risolta nell'altro mio lavoro: Sugli spam a 

 curvatura costante (Rendiconti della B. Accademia dei Lincei, sene V, 

 voi. VI e VII). 



2" classe: superficie per le quali le equazioni (2) sono soddisfatte 

 simultaneamente da 



2 r Q r = 2 r ?» fX r = 2 r Y ir) Ir = 0 . 



Loro caratteristica è il potersi in un sol modo compiere nelle due forme 

 fondamentali g>, % la riduzione accennata precedentemente; geometricamente 

 esiste in una di queste superhcie un sol sistema triplo ortogonale di tal na- 

 tura che i sistemi di superficie che lo compongono si tagliano due a due 

 lungo le linee di curvatura di essa. Di questa classe, che chiameremo 

 classe r, si occupa questa Nota. 



