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saranno 1 + a x , 1 -f- a l -f- a 2 , ... , 1 -f- a y -\- a 2 -f- ... -f- a k . Con tali nota- 

 zioni, la moltiplicità di quel punto fra i punti di Weierstrass risulta 

 espressa da 



W = (p — 2)(«i — 1) + (p — 3)(a, — 1) + - + 2(«p_ 3 —1) + (ocp-z—1). 



Anche ciò rientra come caso particolare in una formola che dà l'in- 

 fluenza di un punto qualunque nel numero dei punti (r -f- l)-pli di una g r J}). 



Ora è facile determinare un limite superiore per l'espressione W. In 

 fatti si consideri in generale un S h {k<p — 2), al quale appartenga un gruppo 

 di m punti di C, ove m>A + l. Quel gruppo imporrà solo k-\-l condi- 

 zioni ai gruppi canonici (cioè agi' iperpiani) che lo contengono. Quindi, pel 

 teorema Kiemann-Roch, la serie lineare completa (speciale) d'ordine m da 

 esso determinata sarà di dimensione fi = m — k — l. Inoltre lo stesso teo- 

 rema conduce, come si sa, al fatto che per una g^ speciale, se si tolgono 

 (come qui si fa) il caso iperellittico e quello della serie canonica, è sempre 

 m >. 2,u + 1 ( 2 ). Sarà dunque nel nostro caso m => 2(m — k — 1) + 1 , ossia 

 m <. 2A + 1. Sulla curva canonica di genere p non possono esistere pia 

 di 2k-\-l punti giacenti in un S ft , ove k<Cp — 2. 



Questa proposizione varrà anche se i punti considerati di C sono infi- 

 nitamente vicini. Quindi pel punto di Weierstrass, i cui ranghi abbiamo chia- 

 mato e*! , « 2 , - , sicché 1' S k osculatore si può riguardare come contenente 



1 _j_ ai _j_ « 2 _| \- a k punti infinitamente vicini di C, essa ci dice che, se 



U<^p — 2, quel numero di punti sarà <.2#-j- 1, ossia 



(a, — 1) + (« 2 — IH h («* — l) k ■. 



Sommando le relazioni che si traggono da questa ponendovi k — 1 , 



2 , ... , jo — 3, insieme con la seguente che deriva dal fatto che l'iperpiano 

 osculatore non può avere con C moltiplicità d' intersezione maggiore di 2p — 2 



(«! — 1) + («« — 1) + - + K-2 — 1) — h 



si ha precisamente 



ossia: Nel numero complessivo jp(^ s — 1) dei punti di Weierstrass di un 

 ente algebrico {non iperellittico) del genere p nessun punto può contare 



(!) V. la citata Introduzione, n. 43. 

 (*J Cfr. loc. cit. n. 84. 



