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rine dei Cimini, stanno in pieno accordo con quello che lo Stoppani aveva 

 osservato e che uno di noi riconfermò nei dintorni d'Orvieto e con quanto 

 venne indicato da uno di noi nel pliocene della strada fra Kadicofani e 

 Proceno; queste ultime osservazioni infatti provarono che pure nel sistema 

 Vulsinio le eruzioni cominciarono, sottomarine, negli ultimi tempi del 

 Pliocene. 



Matematica. — Sopra alcuni complessi ornai oidi di sfere. 

 Nota di A. Del Re, presentata dal Socio F. Siacci. 



I complessi di sfere, dei quali mi occupo in questo lavoro, sono del 7°, 

 6°, 5°, 4°, 3° e 2° grado, e posseggono notevolissime proprietà. Essi pren- 

 dono origine dalla considerazione di 2 gruppi di sfere Gì , G 2 in relazione 

 proiettiva, e dal cercare nel fascio di 2 sfere corrispondenti Si , S 2 la sfera S, 

 ortogonale alla sfera S 3 che, in un altro gruppo G 3 proiettivo a 6,, G 2 corri- 

 sponde ad Si , S 2 . Questo problema è, in sostanza, equivalente all' altro di 

 cercare sulla retta che unisce 2 punti corrispondenti , M 2 qualunque di 



2 spazi omografici a 3 dimensioni 2', , 2 2 il punto coniugato al punto M 3 cor- 

 rispondente di Mi , M 2 in un terzo spazio M 3 omografico a 2 Xì 2 Zì rispetto 

 ad una quadrica a 3 dimensioni, non degenere, 



(p = 2a ih Xi x k — 0 , 



il cui spazio % abbracci 2 Y , 2 2 , 2 3 . E poiché, detto P il polo di 2 3 rispetto 

 a y>, gli spazi polari dei punti di 2 3 formano uno stello ide- attorno a P, re- 

 ciprocamente riferito a 2 t , 2 2 , il medesimo problema coincide pure con quello 

 il quale consiste, dati ^i , 2 2 come sopra, ed uno stelloide (P) di spazi a 



3 dimensioni in dipendenza correlativa con essi in uno spazio a 4 dimen- 

 sioni S> nel determinare il luogo dei punti comuni alle rette che uniscono 

 le coppie di punti corrispondenti di ^i , 2 2 ed agli spazi che a tali punti cor- 

 rispondono in (P) ; poiché, dati 2 X , 2 2 , (P) si può sostituire (P) con lo spazio 

 polare rispetto ad una quadrica, non degenere, arbitrariamente presa. Da ciò 

 sorge un triplice modo di trattare il problema. 



1. Trattandolo dapprima nella seconda forma, abbiamo che, supposte 

 essere 



(1) x'i~fi(x) , X"i = f"i(x), 



ove si ha successivamente 



h{x) — h ix Xi -j- h i2 xz + "• + h i5 x 5 

 det[^|4=0; l==f ,f-, z = l ,2,. ..,5, 



e sono Xi , x( , xl' coordinate di punti in §§, le formule le quali stabiliscono le 

 trasformazioni omografiche di §5 in sé stesso che abbracciano le dipendenze 



