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2. A formule non diverse dalle precedenti si arriva trattando il problema 

 nella 3 a forma. Possiamo infatti supporre scritte nel modo seguente le equa- 

 zioni di S l ,2 2l (P) : 



X x U a -f- X 2 U£. -J- X Z U^ -j- X 4 U$ = 0 



(5) b\Ua.'-\- k 2 U$i-\- A 3 Uy -j- X 4 U5r = 0 



+ ìiqx+hr* + ^ = 0 , 



ove h t = his 1 -f- ~h ^5 f s ? con ^ — u per « = a, ... , ó J' ; e con 



h = p,...,s per s = x, ed ove # 5 sono le coordinate di un punto, 



iti , ... , w 5 quelle di un iperpiano di S. Abbiamo allora che, sulla congiun- 

 gente di 2 punti corrispondenti di 2 X , 2 2 un punto Zi (i == 1 , ... , 5) ba per 

 coordinate espressioni della forma 



epperò, esso starà nell'iperpiano che a detti punti corrisponde in (P) se, 

 posto per brevità 



Cf(X) = Aj(^ijJa -j f- A 4 jJ>s) + ■•• -f- A 4 (A,S a -) 1- A 4 SS) 



(p'(X) = X^Xtfà -f ••• -j- A 4 J? 3 ')H h ^iSa'H h *4*8') , 



si abbia X : n =■ (p'(h) : — <f(ty ; quindi si avranno le formule 



(3") g, = H f- M*) cp'(X) — (V, + •■■ + V,) sp(A) 



(«==1 ,2,. ..5), 



che combinano appunto con le (3'). 



3. Per dare alle formule (3') una forma propria del caso in cui si tratti 

 di sfere, si può supporre di far uso di coordinate penta-sferiche, delle quali 

 Darboux (*) ha fatta l'introduzione nell'analisi geometrica. Allora, bisognerà 

 supporre che si abbia 



eia = 1 , a» = 0 

 per i , k == 1 , 2 , ... , 5 : epperò che sia pure 



%pi— #i,(fe=l,... ,4) ; ip t == 0, 



con che si avrà 



«/V sfinì H f- ^'4^4 , 4'g" == /'i^i + - + pV 4 • 



Le formule domandate sono, dunque, le seguenti: 



(6) *( = (/^ -j- - + g' 4 x 4 ) g"i — {g'\xy + - + g'Uxi) g\ 



(f=l,2,...,5) 



( l ) Lecons sur la théorie des surfaces etc, tomo I ; et «SW «ne cZasse remarquable 

 de courbes et de surfaces algébriques. 



