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Nel caso attuale, seguendo l' uso comune, chiameremo complesso il luogo 

 di cui si tratta, e lo indicheremo col simbolo &. Per cercarne il grado ba- 

 sterà vedere quante sfere esso contiene le quali siano ortogonali a 3 sfere 

 arbitrariamente prese; o, il che fa lo stesso, indicando con u x , u 2 , ... , u 5 dei 

 parametri omogenei variabili, in quanti punti 3 qualunque delle superfìcie 

 del sistema 



(7) (gi'cFi -\ h g'^i) *v — foV, + ••• + g\x±) u g < = o 



descritte dal punto (xi , ... , x 4 ) si tagliano, che non siano comuni a tutte. 

 Queste superfìcie sono del 3° ordine, e se, come dapprima supponiamo, non 

 è possibile per valori delle x x , ... , x^ rendere g'\ = g'i (i = 1 , 2 , ... , 5), 

 tutte hanno a comune soltanto i punti della quartica Q 4 , intersezione delle 

 2 quadriche: 



(8) k == te H h te = 0 , {k = g' , g") 



Invece, se è possibile rendere g" = g\ (i = 1 , 2 , ... , 5) per il che oc- 

 correrà l' esistenza di valori di q pei quali la caratteristica della matrice 



fn — Qf'n • • ■ f'u — Qfi* 

 /n v fu — Qfn • • • fu — Qfu 



flv — ?/si • • • f'U — Qfsi 



sia inferiore a 4, vari casi possono presentarsi. Se Qì è un valore di q pel 

 quale detta caratteristica è h, il sistema delle equazioni 



(io) g"i-Qig'i = Q (* = i,-2, r ...,5) 



è 3 — A volte indeterminato ; epperò 1' equazione (7) sarà soddisfatta, indi- 

 pendentemente dalle m (i = 1 , 2 , ... , 5), dalle coordinate di un punto P l5 da 

 quelle dei punti di una retta r x , o da quelle dei punti di un piano n, se- 

 condochè h — 3 , 2 , 1 ; il caso di A = 0 dovendo essere escluso perchè allora 

 tutte le f" ik sono proporzionali alle corrispondenti f' ih {k = 1 , ... , 4). 

 Se si scrivono le equazioni 



x\ = g'i(x) , x"i = g"i(x) (i = 1 , 2 , ... , 5), 



in grazia della scelta fatta del gruppo G 3 , queste rappresentano la dipendenza 

 proiettiva fra i gruppi Gì , Gr 2 ; epperò la quistione precedente è quella stessa 

 che riguarda gli elementi uniti di detta dipendenza. Se, dunque, supponiamo 

 che Gì e G 2 non siano sovrapposti, i valori di q, come gì , contati ciascuno 

 col suo grado di multiplicità, non possono essere in numero superiore a 3; 

 epperò i seguenti casi possono darsi: 1° o esistono 3 valori di ^ per cia- 

 scuno dei quali è h = 3, e questi valori possono essere tutti, o in parte, 



