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quintica Q 5 la quale è appoggiata in 8 punti a Q 4 , perchè giace nell' iper- 

 boloide [w (1) ,w (2) ] generato dai fasci proiettivi 



(13) up — lup^O, u$ — Xup = 0, 



le cui generatrici sono sue bisecanti. Dunque, Q 5 avrà ulteriormente 7 punti 

 in comune con un' altra superficie del sistema, ed il complesso 0, sarà 

 perciò, nel caso generale,, del grado 7°, ed ove fosse h = 3 del grado 6° , 

 5° , 4° secondochè corrispondentemente vi sono 1, 2, 3, dei punti P*. 



Se h = 2, la quintica Q 5 si scinde nella retta r, comune (come si è 

 visto) a tutte le superficie del sistema (7) ed in una quartica Q' 4 della quale 

 r è una bisecante perchè conta fra le generatrici dell' iperboloide [_u a \ & <2) ]. 

 Questa r è poi pure una bisecante di Q 4 perchè, nel fascio che ha per base 

 la Q 4 , vi è l'iperboloide g" x — g l g' a . = 0, il quale passa per r; epperò Q' 4 

 si appoggia a Q 4 in 6 punti. Ne segue che dei 12 punti comuni a Q' 4 e ad 

 una superficie arbitraria del sistema (7) ve ne sono 6 — j— 2 = 8 fuori di Q 4 

 e di r, cioè fuori del sistema delle linee e dei punti base di (7). Dunque, 

 il complesso 0, .nel caso in esame, è del 3°, o del 4° grado, secondochè, 

 insieme ad r, si presenta, o non, il punto P. Il caso del complesso del 

 4° grado, qui considerato, è distinto da quello esaminato precedentemente; 

 epperò, se ne conclude, che vi sono 2 specie di complessi 0 del 4° grado. 

 Corrispondentemente ai vari casi esaminati possiamo frattanto rappresentare 

 il complesso 0 con 0 n (n = 2,7,6,5), 0 4 (1) , 0 4 (2) , 0 3 . 



5. Il complesso 0 possiede delle sfere multiple. In primo luogo è da 

 osservarsi che la sfera centrale del gruppo G 3 è semplice pei complessi 

 0 4 (1) , 0 3 , 0 2 , doppia pel complesso 0 4 <2) e multipla secondo n — 3 pei 

 rimanenti complessi. 



Infatti, alle 4 equazioni #ì = 0 , ... , £ 4 = 0, è possibile soddisfare con 

 valori delle x x , ... , x± che non soddisfino alla x- 3 = 0, facendo in modo che 

 si abbia 



g'\;g\ = ...=g\;g\J F g\;g>,- 



cioè determinando il valore comune e dei primi 4 di questi rapporti, in modo 

 che sia nullo il determinante 



\f"m — Gf'ml (*,/£ = l~,...,4) 



formato colle prime 4 orizzontali della matrice (9) senza che siano nulli gli 

 altri determinanti di questa matrice. Segue da ciò la verità dell'asserto. 



Per cercare le altre sfere multiple di 0, si osservi che la sfera comune 

 alla rete (al gruppo) che contiene 2 fasci (reti) corrispondenti di Gì , G 2 

 ed alla rete (al fascio) corrispondenti di quelli in G 3 , è doppia (tripla) per 

 0 n se non è n = 2 (n = 3 , 2). Dunque, esiste una congruenza doppia C 

 per 0 n se n ■> 2, ed un sistema oo',T, di sfere triple se n >> 3. Per ciò che 



Rendiconti. 1899, Vol. Vili, 2° Sem. 15 



