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Difatti nessuna m può superare M'„; in particolare quindi sarà 



m' n < M' n . 



Analogamente M' n _i non è inferiore ad n — 1 delle m e la sola delle m 

 che può superare M'„_i è m' n ; dunque avremo 



m' n -\ < M'„_i 



ed il ragionamento può essere continuato per tutte le coppie rimanenti. 



Dunque tutte le differenze M'i — m'i sono positive o nulle, come le dif- 

 ferenze Mi — Mi. Sia s il massimo valore che queste ultime possono rag- 

 giungere; dico che nessuna delle differenze M',- — m\ può superare e. 



Immaginiamo di ordinare i numeri M conservando come corrispondente 

 di ciascuno di essi il numero m che gli corrisponde nei gruppi primitivi. 

 Otterremo i due gruppi 



M\,M' 2 ,...M' n 



rr n ti 



m x , m 2 , ... m n 



nei quali per ipotesi sarà 



M'i — m" < s . 



Ora per ordinare i numeri m" basterà effettuare un certo numero di scambi 

 a due a due, in modo che ciascuno di essi venga portato successivamente 

 ad occupare il posto che effettivamente gli compete. Siano m" h , m'J due 

 degli m" che debbono essere scambiati fra loro ; supponiamo h < s , e che 

 m" ottenga, con questo scambio, il posto definitivo, cioè sia uguale ad m' h , 

 il che è sempre lecito supporre. 

 Avremo 



M'„<M' S <>< 



e quindi 



M' A — m7 t < M' s — mt 



Perciò, posto M' s — m" — d, potremo dire che nessuna delle due differenze 

 M A — m',1, M s — m" può superare d, e sarà inoltre d.<e. 

 Avremo inoltre, poiché m' s ' = m\ , 



MV- <'|>.0, M' s — <>0 



e anche 



M' k — < < M' s — m' s ' = d 

 M' s - < < M' s - < = d . 



Dunque le due nuove differenze che si ottengono dopo lo scambio sono 

 entrambe minori di d, se M A < M s , e si manterranno uguali alle primi- 

 tive, quando sia M'* = M' s . Perciò avremo sempre 



M'j — m'i <. é . 



