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Supponiamo ora che i valori delle M , m variino, e cresca anche, se 

 vuoisi, indefinitamente il loro numero n ; però restino sempre verificate le 

 condizioni (1) e quindi anche le (1'). Se allora le differenze M ; — mi ten- 

 dono a zero uniformemente, cioè da un certo punto in poi si ha, per qua- 

 lunque valore dell'indice i, 



M; — mi < rj 



ove i] è una quantità positiva arbitrariamente fissata e prossima a zero 

 quanto si vuole, da quanto abbiamo dimostrato segue che le differenze 

 M'i — m'i formate coi termini corrispondenti dei gruppi ordinati, godono di 

 una proprietà analoga, cioè si mantengono sempre positive, o nulle, e ten- 

 dono esse pure uniformemente a zero, soddisfacendo anche alle condizioni 



M'i — m'i < rj. 



2. Queste proprietà, affatto elementari, trovano qualche applicazione nello 

 studio di una quistione, trattata in una Nota precedente ('), che riguarda 

 la definizione e costruzione di funzioni rappresentanti i valori ordinati di 

 una funzione reale di una variabile. Esse permettono di considerare le cose 

 sotto un altro punto di vista. 



In un intervallo (a , b) si abbia una funzione f(x) che supporremo 

 finita e continua. Sia data inoltre una legge di divisione dell' intervallo (a , b) 

 in intervalli parziali 3 X , S 2 , ... S n tale che al crescere di n questi intervalli 

 tendano uniformemente a zero. Fissata una divisione speciale indichiamo 

 con Mi , M 2 , ... M n i valori massimi che f(x) assume rispettivamente in 

 d ì , ó 2 , ... ó n , e con ... m n i minimi. 



Indichiamo poi con *P n (x) una funzione la quale negli intervalli ó\ , ó 2 , ... ó„ 

 assuma rispettivamente i valori del gruppo ordinato dei massimi, cioè M\, 

 M' 2 , ... M' n e che nei punti di separazione di due intervalli successivi ài , 

 assuma il valor medio t (M'i -f- M\- +1 ). La funzione *& n (x) sarà così definita 

 per qualunque valore di x , compreso fra a e b. 



Similmente indichiamo con ip n (x) una funzione costruita in modo ana- 

 logo col gruppo ordinato dei minimi m\ , m\ , ... m' n . 



Essendo n finito potremo sempre avere anche una rappresentazione 

 geometrica semplicissima di queste due funzioni, mediante n segmenti di 

 retta paralleli all' asse delle ascisse ed n — 1 punti sulle ordinate dei punti 

 di separazione di due intervalli consecutivi. 



Ora noi abbiamo visto che, essendo Mj — mi >. 0 , deve essere anche 

 M'i — m'i^O per qualunque valore dell'indice i, e quindi anche 



i (m'i + m'i.,) < I (M'i + M' i+1 ) . 



f 1 ) Sulle funzioni reali di una variabile, voi. Vili, 1° sem., pag. 4-12. Nell'esem- 

 pio segnato (p) in questa Nota, per l'esattezza delle formole, deve porsi a = 0, quan- 

 tunque ciò non sia essenziale per la quistione. 



