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Dunque per qualunque valore di x compreso nell' intervallo {a , b) avremo 



xp n (x) <- V n (a) . 



Inoltre per una proprietà nota delle funzioni continue, le differenze 

 M, — mi al crescere di n tendono uniformemente a zero. Lo stesso quindi 

 avverrà delle differenze M' ; — m\ e potremo perciò concludere che, dato un 

 numero rj piccolo ad arbitrio e positivo, sarà sempre possibile trovare per n 

 un valore abbastanza grande perchè si abbia, per qualunque x, 



e questa relazione si conservi al crescere di n . 

 Perciò possiamo scrivere anche 



lim [W n {x) — «M^)] = 0 . 



il — co 



Di qui segue che, se le successive funzioni *P n (x) , al crescere di n, tendono 

 ad una funzione limite determinata, cioè esiste una funzione tale che 



la differenza *P n (x) — ip(x), qualunque sia x , si possa ridurre piccola ad 

 arbitrio, alla stessa funzione ip(x) tendono anche le funzioni ip n (x) . 



Così pure se invece di considerare i valori massimi o minimi, conside- 

 riamo n valori di f(x) scelti in modo qualsiasi negli intervalli d } , ó 2 , ... è n 

 e, ordinando questi valori, costruiamo poi la funzione analoga alla 3 f „(,«) , 

 o ipn(%) ■< anche questa nuova funzione, nella ipotesi fatta, tenderà alla stessa 

 funzione ip(x). Questa funzione dunque, se esiste, è indipendente dalla scelta 

 dei valori di f(x), negli intervalli à x , S 2 , ... ó n . 



3. Supponiamo che la legge di divisione dell'intervallo dato, sia tale 

 per cui si passi da una divisione alla successiva suddividendo ciascuno degli 

 intervalli della prima in uno stesso numero di parti, senza per altro fissare 

 che questo numero debba essere lo stesso per tutti i passaggi da una divi- 

 sione all' altra. In tal caso la funzione limite 4>(x) esiste sempre. 



Consideriamo una divisione speciale <?! , ó z , ... ó n e supponiamo, per 

 fissare le idee, che nella divisione successiva ogni intervallo di venga spez- 

 zato in tre parti. Se ò\ , S" , d'i', sono queste parti, sarà 



cT, + ^ + <?;." = <?,■• 



Dei tre massimi corrispondenti di f(x), uno almeno sarà uguale ad Mi, 

 gli altri due non potranno superare M,- . Così dei tre minimi, uno sarà 

 uguale ad wii e gli altri non potranno essere minori. Potremo quindi in- 

 dicare con Mi , Nj , Pi i tre massimi e supporre 



(2) 



Mi > N; > P; . 



