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Ordinando i numeri M , N , P in senso crescente, otterremo tre gruppi 

 ordinati 



M\ , M', , ... M' w 

 N'i , N' 2 , ... N'„ 

 P' P' p' 



che complessivamente rappresentano tutti i massimi di /(^) corrispondenti 

 alla suddivisione in Sn intervalli. Ora, per la proprietà dimostrata in prin- 

 cipio al n. 1, dalla (1') segue 



M'i > N'i > Fi 



e quindi fra i Sn massimi ve ne sono almeno Si i quali non superano M'i . 

 Perciò allorquando questi massimi vengono distribuiti ordinatamente nei Sn 

 intervalli per costruire *P 3n (x) , i valori che competeranno agli intervalli 

 ò'i , d'- , d"' , i quali occupano rispettivamente i posti d' ordine Si — 2 , 

 Sì — 1, Si, non possono superare M'i. 



Da ciò segue che per qualsiasi valore di x, anche coincidente con uno 

 qualunque dei punti di divisione deli' intervallo, si ha sempre 



È chiaro che il ragionamento precedente è generale e sussiste ancora 

 quando invece di suddividere tutti gli intervalli d t in tre parti, vengono 

 suddivisi in un numero r qualsiasi di parti. Si avrà in questo caso per 

 qualunque valore di x 



Q*rn{x) ^Pn(^) • 



In modo analogo si potrebbe dimostrare che per le funzioni > «M#) 



si ha invece 



qualunque sia x. 



Da ciò segue che se, fissato un valore speciale di «2? nell' intervallo dato, 

 consideriamo le due successioni di valori ip a) , xp m , xp m , ... e *P (1) , *P (2) , *P (3) ,.-- 

 che ad esso competono per la legge fissata di divisione dell' intervallo, queste 

 due successioni soddisferanno alle condizioni 



ipw <. <_ ìp w < ... 



jp(l) >. jp<2) ;;; . qj(3) <_ _ _ 



mentre le differenze 



non sono mai negative ed impiccoliscono indefinitamente. Per un noto as- 

 sioma potremo quindi concludere che esiste uno ed un solo valore a cui 

 tendono entrambe le successioni considerate. Questo valore sarà quello della 

 funzione ip(x) nel punto x. 



