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L' esistenza di una funzione limite xp(%) per qualsiasi procedimento di 

 divisione dell' intervallo, che soddisfaccia alle condizioni stabilite, resta così 

 dimostrata, ammettendo per la funzione f(x) la sola condizione che sia 

 finita e continua. 



Non possiamo però concludere da quanto precede che questa funzione 

 limite debba essere sempre la stessa quando varia, anche nel cerchio delle 

 condizioni stabilite, la legge di divisione dell'intervallo. Anzi non sarebbe 

 difficile mostrare con qualche esempio che la funzione ip(x) varia effettiva- 

 mente colla legge di divisione. Perciò mediante il procedimento studiato non 

 è possibile definire una funzione ordinata di un' altra f(x) a meno di ag- 

 giungere qualche condizione relativa alla legge di divisione. Questa conclu- 

 sione giustifica la definizione che ho stabilita nella Nota già citata per la 

 funzione ordinata Of(x) , partendo da quel procedimento di passaggio al li- 

 mite che ho indicato con 



lim <f n (x) 



n=oo 



Tale procedimento, quando la legge di divisione dell' intervallo è tale 

 per cui tutti gli intervalli parziali risultano uguali fra loro, non differisce 

 da quello che serve a definire *p(%); e allora, se esiste la Of{x), la ip(w) 

 corrispondente coincide con essa ('). 



(!) Un esempio semplice, che prova la dipendenza di ip(x) dalla legge di divisione, 

 è il seguente. 



Neil' intervallo (0,2) sia f{x) rappresentata dai due segmenti di retta che uniscono 

 gli estremi dell' intervallo col punto alla distanza 1 sulla perpendicolare innalzata dal 

 punto x = 1 ; ossia si abbia 



nell' intervallo (0,1) f(x) — x 



» (1,2) f{x) = 2 — x 



Avremo 



3 5 



Dividasi ora l' intervallo (0,2) in quattro intervalli mediante i punti x = — , 1 , — . Il 

 gruppo ordinato dei valori m' corrispondenti a questi intervalli è: 



3 



Quindi nel tratto da x = 1 ad x = ~r (escluso l'estremo inferiore) si ha 



ù 



V»* («0 = j 



3 



mentre nello stesso tratto Of(x) raggiunge il valore — soltanto all'estremo superiore. E- 

 sclusi questi estremi, avremo quindi 



xpi(x) > Of(x) 



Ora, qualunque siano le ulteriori suddivisioni, i valori di \p(x) , pel tratto considerato, 

 non ^possono essere inferiori a quelli di ipi{x). È quindi impossibile che in esso ip(x) 

 coincida con Of(x). 



