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II. 



Nella stessa Nota viene definita una certa funzione r(x) mediante 

 le relazioni 



r(a + h) = r(b - l a ) = f(x A ) 



ove l k ed L A rappresentano la somma di tutti gli intervalli nei quali f{cc), 

 supposta continua, è minore, o maggiore, rispettivamente del valore A che 

 essa assume nei punti x K . 



Circa la possibilità della determinazione di queste due grandezze l A ed L A , 

 quando il gruppo dei punti x k è infinito, conviene aggiungere qualche con- 

 siderazione, poiché, come mi ha fatto osservare il prof. Volterra, (il quale 

 si è già occupato di una quistione analoga a proposito del metodo di Neu- 

 mann per la risoluzione del problema di Dirichlet, V. Read, del Circolo 

 matematico di Palermo) le espressioni usate al § 2 di quella Nota non sono 

 sufficientemente chiare e precise, quando si conservi alla parola gruppo, il 

 significato generale, comunemente usato, nè si pongano altre limitazioni per 

 la funzione f{x). 



La quistione, come facilmente si vede, si riduce a questo: dato un 

 gruppo infinito di punti contenuti in un segmento finito, quando è che pos- 

 siamo estendere a tale gruppo la proprietà, di cui gode un gruppo finito, di 

 dividere il segmento dato in segmenti, la cui somma è uguale al segmento 

 stesso? 



Ora mostrerò che ogni qual volta il gruppo è di 1° genere, cioè ha un 

 numero finito n di grappi derivati, e contiene i punti di questi grappi ( J ), 

 il concetto della divisibilità del segmento mediante il gruppo può essere ap- 

 plicato. 



Indicando con G U) , G (2) , ... G <M) i successivi gruppi derivati del gruppo 

 dato Gr , mediante i punti del grappo G' n) , potremo dividere il segmento 

 dato ó in un numero finito m di segmenti c5\ , ó 2 , ... ó m . 



I punti del gruppo Gr (n-1) cadranno allora in generale in numero infinito 

 entro ciascuno dei segmenti Si , ma i punti limiti del gruppo stesso non po- 

 tranno trovarsi che agli estremi dei segmenti ^ . Perciò indicando con il 

 segmento compreso fra due punti qualsiansi consecutivi di G (M_1> compresi 

 nell'interno di <f» e con <?„j,-i i due segmenti determinati dai due 



punti successivi a sinistra ed a destra, potremo rappresentare Si con una 

 somma semplicemente infinita 



ài= I 



A 00 



( ; Per questo basta che contenga il primo gruppo derivato, come avviene sempre 

 nel nostro caso poiché si suppone f{%) continua. — V. Borei, Legons sur la théorie des 

 fonctions. Paris 1898. pag. 38. 



