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che potrà anche estendersi all'infinito da una sola parte, od anche essere 

 finita. Avremo così 



m i\ =+ oo 



* = I I ■ 



i=l i,=— 00 



Analogamente i punti limiti del gruppo Gr CM ~ 2) non possono trovarsi che 

 nei punti estremi dei segmenti Jjk ; dunque, mediante i punti di questo gruppo 

 uno qualsiasi di questi segmenti potrà rappresentarsi con una serie sempli- 

 cemente infinita di segmenti 



&2 =~H )0 



e si avrà così 



OT t(=-|-00 Ì 2 = -(-0O 



rf = Z Z I ^W.V 



In tal modo possiamo continuare fino alla introduzione dei segmenti 

 determinati dai punti dei gruppi Gr (1> e G , dopo di che si avrà 



Wl ij=-i-oo i. 2 =+co in=+<x> 



ó = t y y ... y da i * . 



i=l ii=— 00 i 3 =— 00 «Jl= —0 ° 



In base a questa formola potremo ancora dire che il gruppo G divide 

 il segmento dato in infiniti segmenti, la cui somma riproduce il segmento 

 stesso ('). 



Per la costruzione della funzione T(x) secondo la via indicata conver- 

 rebbe quindi aggiungere, rispetto alla funzione f(x), la condizione che i gruppi 

 dei punti nei quali essa prende uno stesso valore, siano di 1° genere. 



Il prof. Volterra si è occupato anche delle due seguenti quistioni: 1° come 

 possa essere estesa la definizione della funzione r(x) quando la f(x) è com- 

 pletamente arbitraria ; 2° trovare una espressione analitica della stessa r(x) ; 

 ed io sono assai lieto di poter riportare da alcune lettere a me dirette le 

 sue interessanti considerazioni. 



Per chiarezza noto che egli chiama funzione ordinata la funzione r(x). 



« Torino, 29 gennaio 1899. 



« Sia data una funzione f(x) finita e continua nell' intervallo (0 , /) , la 

 quale ha un numero finito di oscillazioni e non ha tratti di invariabilità. Kap- 

 presentiamola con una curva e tiriamo una parallela all' asse x che ne disti y. 



( l ) Un teorema che ha relazione colla proprietà qui considerata, si trova nella 

 Memoria di Cantor, Sur les ensembles infinis et linéaires des points, III, Acta math. 2. 



