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La curva verrà decomposta in valli e monti; facciamo la somma delle basi 

 delle valli (ossia delle loro proiezioni sull' asse x). La curva ordinata ha 

 per ordinata y e per ascissa la somma delle basi delle valli (o anche l meno 

 la somma delle basi dei monti). Corrispondentemente alla curva viene co- 

 struita la funzione ordinata. Chiamiamo ora F(x) la funzione che per ogni 

 valore di x è uguale al più piccolo dei due valori f(x) o y , essendo y il 

 valore costante già considerato, e scriviamo 1' equazione della curva ordinata 

 sotto la forma 



« Una considerazione geometrica semplicissima ci fa vedere che si ha 



« Supponiamo ora che f(x) sia una funzione qualunque finita, continua 

 o discontinua. 



« Si divida l' intervallo (0 , l) in cui è definita f(x) in n parti , J 2 , ... 

 d n e si consideri la somma degli intervalli in cui f(x) è sempre minore di y, 

 e si chiami con a ; quindi si facciano diminuire indefinitamente questi tratti. 

 Allora a tenderà verso un limite xp che è indipendente dal modo con cui 

 questi tratti vanno a zero. Ciò si dimostra con un ragionamento che per 

 brevità sopprimo. Nello stesso modo sia b la somma degli intervalli nei 

 quali f{x) è sempre maggiore di y. Avremo che b tenderà coli' impiccolire 

 degli intervalli in un modo qualunque verso un limite % . Ed evidentemente 

 in generale non si avrà xp -j- x = l • Se la funzione è discontinua si vede 

 facilmente come ciò può accadere. Basta considerare una funzione f(x) che sia 

 nulla nei punti razionali ed 1 nei punti irrazionali. Ma anche se f{x) è 

 continua si vede che ciò può accadere. Basta ricorrere all' esempio del gruppo 

 di punti non rinchiudibile che ho dato nella mia Nota del 1880, Sulle fun- 

 zioni punteggiate discontinue. 



« Noi possiamo ora considerare le due funzioni xp(y) e ipi(y) = 1 — %(y) 

 ed otteniamo due funzioni che in generale saranno distinte fra loro e che 

 potranno considerarsi come proprie a definire due funzioni ordinate. Esse evi- 

 dentemente sono sempre crescenti e quindi si può concepire un modo di 

 avere delle funzioni inverse. Queste funzioni possono essere discontinue in 

 infiniti punti. Però essendo sempre crescenti sono integrabili e quindi hanno 

 infiniti punti di continuità in ogni intervallo. 



« Ci si può chiedere quali proprietà avranno i loro integrali i quali pos- 

 sono essere diversi fra loro. A questo ci può guidare la relazione (a) pre- 

 cedentemente trovata. Perciò supponiamo che il rettangolo costruito sugli 

 assi x ed y coi lati l ed M (essendo M il limite superiore della funzione f(x) ) 



Rendiconti. 1899, Voi. Vili, 2° Sera. 19 



X = V{y) 



(a) 



