— 134 — 



venga diviso in n* rettangoli simili, dividendo ogni lato in n parti ugnali. 

 Consideriamo la funzione ~F(x) che per ogni valore di x è uguale al più 

 piccolo dei due valori f(x) o y (essendo y un numero scelto fra 0 ed M). 

 Questa funzione non sarà in generale integrabile (poiché supponiamo f(x) 

 comunque continua o discontinua) ma potremo di essa avere gli integrali 

 superiore ed inferiore (vedi lamia Nota del 1881, Sui pr incipit del cal- 

 colo integrale). Per ottenere in particolare quest' ultimo basterà prendere 

 in ognuna delle colonne di rettangoli costruite (per es. nella colonna di ret- 

 tangolo di base h) tutti i rettangoli, di cui i punti hanno le ordinate minori 

 del minimo di ~E(x) nell'intervallo h. Sommiamo tutti i rettangoli così scelti 

 e poi facciamo crescere n indefinitamente. Il limite della somma esisterà e 

 sarà l' integrale inferiore l di ¥(x) in tutto l' intervallo (0 , l). Questo modo 

 di calcolare l, confrontato al modo di costruire tp(y) e ipi(y) ci mostra che 



non possono essere inferiori a l. Nello stesso modo si può trovare che i 

 due integrali non possono superare l' integrale superiore A di F(x) nel- 

 l' intervallo (0 , l). Perciò i due detti integrali sono compresi fra l e A. 



* Supponiamo che f(x) sia integrabile ; allora lei debbono coincidere 

 per ogni possibile valore di y (giacché anche J?(x) sarà integrabile); per 

 conseguenza 



ossia le due funzioni ip(y) e ^pi(y) hanno integrali uguali in ogni intervallo 

 e perciò in infiniti punti dell' intervallo sono uguali fra loro. 



« ^Riassumendo mi sembra che potrebbe dirsi : Ad ogni funzione f(x) 

 corrispondono due funzioni ordinate ip(y) , ty\{y)- Anche se f(x) è con- 

 tinua le due funzioni possono essere diverse fra loro, però basta che f(x) 

 sia integrabile, perchè le due funzioni differiscano fra loro per una fun- 

 zione di integrale niello e quindi siano uguali fra loro in inf iliti punti 

 di ogni intervallo. 



« In una recente Nota (') il Dott. Straneo si occupa della ricerca di una 

 espressione analitica della funzione ordinata. A me sembra che 1' espressione 

 analitica più naturale della funzione ordinata venga sempre dal conside- 



(i) Rendiconti, Voi. Vili. 1° sem. pag. 438-442. 



« affmo V. Volterra » . 



Torino, 10 giugno 1899. 



