ricerche consiste in quelle singolari congruenze, scoperte da Thybaut, nelle 

 quali le due falde della superficie focale sono superfìcie d' area minima, cor- 

 rispondendosi le linee assintotiche sulle due falde. Queste speciali con- 

 gruenze W (') si diranno congruenze di Thybaut. La presente Nota ha per 

 principale oggetto di far conoscere il legame che esiste fra i teoremi di Gui- 

 chard relativi alla deformazione del paraboloide di rotazione e le congruenze 

 di Thybaut. Si vedrà che ove si consideri una deformata qualsiasi S 0 del pa- 

 raboloide di rotazione e le due congruenze di raggi che il teorema di Guichard 

 associa alla S 0 e che sono rispettivamente normali a due superfìcie S , S 

 d' area minima, prendendo delle S , S le due superfìcie d' area minima coniu- 

 gate in applicabilità, secondo Bonnet, queste, convenientemente collocate nello 

 spazio, saranno appunto le due falde focali di una congruenza di Thybaut. In- 

 versamente tutte le congruenze di Thybaut derivano con questa costruzione 

 dalle deformate del paraboloide. 



§ 1- 



Corrispondenza dei sistemi ortogonali di S ai sistemi coniugati di S 0 . 



Riprendiamo tutte le notazioni della Memoria e ricordiamo che, essendo 

 S 0 una superfìcie applicabile sopra una delle cinque ultime superfìcie fonda- 

 mentali ed S la superfìcie a curvatura costante normale ai raggi di una delle 

 due congruenze associate a S 0 , secondo i teoremi di Guichard, abbiamo di- 

 mostrato (cf. (M) § 10) che i sistemi coniugati di S 0 corrispondono ai sistemi 

 coniugati di S. Questa proprietà scompare nel caso in cui la S 0 sia applica- 

 bile sul paraboloide di rotazione e la S sia la superficie d' area minima nor- 

 male ai raggi di una delle due congruenze associate. In sua vece ne subentra 

 un' altra, egualmente notevole, data dal teorema : 



Ad ogni sistema coniugato della superficie S 0 corrisponde sulla su- 

 perficie d' area minima S un sistema ortogonale ( 2 ). 



Per dimostrarlo converrà provare che sussistono nel caso attuale le pro- 

 porzioni (cf. (il) § 3) : 



T*E' + 2Tg + Ep senV __ TF + 2Tf T 2 G' -f- 2Tg ± G 0 



D 0 ~~ D' 0 D" 0 " 



Queste si risolvono, nel caso speciale nostro, nell' unica equazione 



T 2 (3 cot a a' % — a") — 2T</ cos a -j- sene cos c = 0, 



la quale è identicamente soddisfatta a causa delle formole ((M) § 3): 



a" = 3 cotff . o' 2 , 2Tcr' = sencr. 



(!) Lezioni, cap. XII. 



( s ) La medesima proprietà sussiste anche se la S 0 è applicabile sull'ellissoide allun- 

 gato o sull'iperboloide a due falde di rotazione e la S è la superfìcie a curvatura media 

 costante normale ai raggi della congruenza associata. 



