Se consideriamo poi la seconda superficie d'area minima S normale ai 

 raggi della congruenza riflessa, e simmetrica di S rispetto alla superficie ri- 

 flettente S 0 , segue dal teorema superiore che sopra S , S si corrispondono i 

 sistemi ortogonali, cioè: _ 



Le due superficie ad area minima S , S normali rispettivamente alle 

 due congruenze associate di una deformata S 0 del paraboloide di rotazione, 

 si corrispondono con conservazione degli angoli. 



La medesima cosa risulta anche dal teorema al § 9 (M), secondo il quale 

 sopra S ,~S si corrispondono i sistemi coniugati, in particolare quindi le linee 

 di lunghezza nulla ed i sistemi ortogonali. 



§ 2. 



Le equazioni fondamentali della trasformazione. 



Secondo le consideraeioni fondamentali del § 11 (M), occupiamoci ora 

 della inversione del teorema di Guichard relativo alle deformate del para- 

 boloide di rotazione. Supponiamo adunque data una qualunque superficie d' area 

 minima S e cerchiamo se è sempre possibile riportare sulle sue normali, a 

 partire dal piede M, un tale segmento MM 0 = T (variabile da punto a punto), 

 in guisa che il luogo degli estremi M 0 sia una superficie S 0 applicabile sul 

 paraboloide di rotazione e la congruenza delle normali di S sia una delle 

 due congruenze associate alla S 0 . Basterà a tale scopo tradurre in calcolo le 

 due proprietà seguenti, che necessariamente dovranno aver luogo: 



1° L' angolo a d' inclinazione del segmento MM 0 = T sopra S 0 deve 

 essere legato alla lunghezza T del segmento della formola ( (M) § 4) 



la) -\- = 2AT , 



v ' sen-tf 



essendo k una costante che si può supporre positiva e che eguaglia il para- 

 metro del paraboloide di rotazione. 



2° Alle linee di curvatura di S deve corrispondere un sistema coniu- 

 gato sopra S 0 . 



Riferiamo la superficie d' area minima S alle sue linee di curvatura u , v 

 e sia {Lezioni, cap. XIV) 



ds 2 == e 2h (du 2 + dv 2 ) 



il quadrato del suo elemento lineare, i raggi principali di curvatura r x , r 3 

 avendo le espressioni: 



r 1 = — e 26 , r 2 = e 2 *; 

 la funzione 0 di u , v sarà una soluzione dell' equazione di Liouville : 



1>u 2 ~t~ ~ÒV* 



