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e sostituendo in questo determinante i valori (3) e quelli che ne seguono 

 per una nuova derivazione, ne deduciamo che T deve anche soddisfare 1' equa- 

 zione del 2° ordine: 



D*T / e" 9 -3T yr , e 6 — Tg~ 6 ~òd 1>T 



~òic~òv ~ V 6 + Te" 9 e 9 — Te"V 7w ^ + c 9 + Te" 9 7>y Dm i " 



e 9 + Te- 9 1)6 ~òT 

 e 9 — Te" 9 3w Dy ' 



Queste equazioni (I) , (li) sono le equazioni fondamentali della trasforma- 

 zione ; esse costituiscono un sistema illimitatamente integrabile, sicché la so- 

 luzione più generale del sistema contiene due costanti arbitrarie. 



§ 3- 



Illimitata integrabilità del sistema (I) (II). 



Derivando la (I) rapporto ad u e v e combinando le equazioni risultanti 

 colla (II) deduciamo il sistema completo seguente di equazioni del 2° or- 

 dine ( ! ): 



$SV + Tr«W^ 1 + ^e 9 -Te- 9 ? y (e 9 -TeMW 



j_/ 1 -m 7>fl 1 DT__ fl 1 T>T 1 



-jy^e -|- Te" 9 W _ 7>« e 6 — Te" 0 ìv 6 e 9 + Te" 9 D u e 9 — Te" 9 7) v 

 d / 1 tfE\ _ ^ 1 VT , _ 6 1 ^T 1 ^T 

 — Te-e + Te' 9 7>w e 9 + Te" 9 >ti e 9 — Te" 9 7>y 



j/ 1 T»T\ ,, a rit 1 7>T , e~\ pTy 



ìy ^6_ T6 -e ìyy )- A ( e - ie i ^e 9 + Te- 9 7)^(e 9 +Te- 9 ) 2 W, 



dove per comodità di calcolo abbiamo scritto due volte, sotto forme diverse, 

 I' equazione media (II). 



Se deriviamo la prima delle (III) rapporto a v, la seconda rapporto ad w 

 e sottragghiamo osservando la (I), troviamo identicamente soddisfatta la con- 

 dizione d' integrabilità : 



-^y\e 9 + Tr 9 ìw/ " 7>y;w\e 9 + Te- 9 7)wj ' 



y_ / i m = / i ì)T\ 



erty \e 9 — Te" 9 Dv ) Dv ìu \e 9 — Te" 6 Dv) ' 



Analogamente si verifica per l' altra 



~òw7>y 



procedendo nel medesimo modo colle due ultime (III). 



(i) Come al § 12 (M) si lascia da parte il caso ovvio in cui si avesse — = 0 o 

 — = 0. Allora la S 0 sarebbe una delle deformate di rotazione del paraboloide e la S sa- 

 rebbe il catenoide. 



