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Segue di qui che il sistema (I), (III) è illimitatamente integrabile e 

 si può quindi assegnare ad arbitrio per un sistema iniziale (u 0 v 0 ) di valori 

 delle variabili u , v i valori di 



' Da' 7>;«' 



purché soddisfino la (I). Che se poi non fissiamo a priori il valore della 

 costante k (parametro del paraboloide) si potranno assumere affatto ad ar- 

 bitrio i valori iniziali di 



e il parametro k del paraboloide risulterà in conseguenza fissato dalla (I). 



§ 4 - 



Verifiche relative alla superficie riflettente S 0 . 



Scelta per T una soluzione qualsiasi del sistema (I), (III), consideriamo 

 la superficie S 0 luogo degli estremi M 0 dei segmenti T staccati sulle nor- 

 mali di S e dimostriamo: 1° che la S 0 sarà applicabile sul paraboloide di 

 rotazione di parametro k; 2° che la congruenza delle normali di S sarà 

 una delle due associate alla S 0 secondo il teorema di Guichard. 



Se indichiamo con 



chi E 0 clu* -f 2F 0 cluclv -f G 0 clv 2 

 il quadrato dell'elemento lineare di S 0 , dalle (3) troviamo: 



indi per la (I) 



Eo G 0 - F 2 0 = 2AT(«° + Te -0 ) 2 (e" - Te -9 ) 2 

 Calcolando mediante la forinola di Bonnet (*) la curvatura geodetica - 

 che hanno sulla S 0 le linee T = cost te , abbiamo quindi: 



1 _ -1 



? T ~ ]/2AT . (e° 4-Te= 6 )(e° — Te' 0 ) 



u r ì g e - T.- 9 ìt~| , j_ r i g° + T g - 9 ^t-|) 



Ma dalle (III) risulta subito la forinola 



J> p' - 1 --; 251 + Ì P-r^ -1 = «(' + TOC 6 - Te " 9 ) 



(!) Lezioni, pag. 145. 



