— 157 — 



ed osservando la (I), la precedente ci dà: 



1 — k 



(6) 



£>t |/2AT(2AT — 1) 



Queste linee T = cost le sono dunque a curvatura geodetica costante ed 

 ora dimostreremo di più che esse sono geodeticamente parallele. E infatti 

 l' equazione differenziale 



{^-- Po ? ~) du-\-(¥ o ^-Q 0 ^)dv = O 



\ IV lì u/ ' \ ÌV 1)U/ 



delle loro traiettorie ortogonali si scrive: 



(7) (e 9 + Te" 0 ) 2 — du — (e 9 — Te -0 ) 2 — dv = 0 . 



Per la curvatura geodetica — di queste linee abbiamo quindi dalla se- 

 conda formola di Bonnet (') 



ì = o. 



Dunque le linee integrali della (7) sono geodetiche ed indicando con w 

 il loro arco, contato da una traiettoria ortogonale fissa, avremo da una nota 

 formola ( J ) 



w = 



di 



2£T — 1 



La nostra superficie S 0 è dunque applicabile sopra una superficie di ro- 

 tazione e se indichiamo con 



dsl — dio' 1 -j- r- dvl (r — f(w) ) 

 la forma normale del suo elemento lineare, avremo dalla (6) 



1 dr & 



rlw~~ l/2kT(2kT — 1) ' 



ovvero 



1 dr k 



rdT~2kT — l ' 

 da cui integrando 



r = c\/2kT — 1 , 



indicando c una costante. Ne deduciamo 



9,kT 



dsl ■ 2k y_ 1 dT- + c\2k1 -\)dv x , 



( l ) Lezioni, pag. 146. 

 (' ; ) Lezioni, pag. 163 



